Urne de Polya

[invite03ef28af]

Bonjour,
voici mon problème,
on s’intéresse a une urne de Polya dans laquelle on a initialement :
r boules rouges
b boules blanches
On effectue n tirages avec remise et ajoutant a chaque tirage c boules de la couleur tirée.

on note pn(r,b) la probabilité de d'obtenir une boule rouge au n-ieme tirage dans une urne contenant initialement r boules rouges et b boules blanches
on me demande de montrer pour tout n dans 2, + infini que :


Je commence donc une récurrence:
l'initialisation se fait aisément en utilisant la formule de probabilité totale,
cependant je bloque a l'itération , j'ai essayer d'utiliser la formule de proba totale mais ca ne mene a rien puisque je ne connais pas le nombre de boules rouges et blanches au tirage n
Avez - vous des idées a me donner ?
Merci
-----

[invite3362034b]

Bonjour Jackgré, le nombre de boules rouges et blanches au tirage $n$ ne sont, certes, pas connues.

Mais une relation liant la somme du nombre de boules rouges et blanches existe. Sachant que le processus ajoute un nombre $c$ de boules systématiquement à chaque tirage, indépendamment de l'urne où ces boules finissent.

J'espère que ça pourra t'aider .

[invite03ef28af]

Une deuxieme question,
pourquoi cela induit l'égalité des P(Rn) pour tout n avec Rn" on obtient une boule rouge au n-ieme tirage"
merci

[invite3362034b]

Eh bien, raisonnez par récurrence, c'est immédiat pour des raisons algébriques.

[A voir en vidéo sur Futura]