Montrer un espace vectoriel

[invite557a26b8]

Bonsoir
Est ce qu'on peut montrer que C([1,0],R) -l'espace des fonctions ayant une dérivée continue- est un espace vectoriel ? et si oui, comment ?
et enfaite je ne comprends pas vraiment ce que ça signifie un "espace des fonctions ayant une dérivée continue"...

Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

En fait, tu vas prouver que quelque chose est un espace vectoriel en utilisant le fait que c'est un sous-espace vectoriel.
Au départ, tu connais les espaces vectoriels de fonctions réelles définis ainsi :
Soit X un ensemble et F(X,R) l'ensemble des applications de X dans . On définit sur F(X,R) deux opérations :
* Une interne, +, telle que quels que soient les éléments f et g de F(X,R), (f+g) : x --> f(x)+g(x)
* une externe ., définie pour tout réel k et tout élément f de F(X,R) par (k.f) : x --> k f(x)
On montre, en appliquant la définition que (f(X,R),+,.) est un espace vectoriel réel. On montre facilement qu'on peut remplacer "applications de X dans " par "applications de X dans un espace vectoriel réel E".

C¹([0;1],R) (*) est l'ensemble des applications de [0;1] dans ayant une dérivée continue sur [0;1]. C'est une partie de F([0;1],R), qui, muni des deux opérations ci-dessus, est un espace vectoriel.

Cordialement.

(*) tu as dû oublier le 1 en exposant pour dire une fois dérivable, à dérivée continue.