Transformations dans un espace 3D

[invitef5cd9b59]

Bonsoir,

Je suis actuellement entrain de préparer un examen et dans ce but je fais plusieurs exercices, fournis ou non par mon école (suite à un parcours atypique j'ai des lacunes en maths mais j'ai décidé de pas contourner les maths et d'apprendre le plus possible). Dans ce cadre là j'essais de faire l'exercice suivant :

1. Déterminer la matrice de rotation autour de l'axe de vecteur de direction V = (0 0 -1)^Tet d'un angle de 90° passant par le point B = (2, 5, -3)^T.

2. Soit un point P1 = (5 2 8 1)^T défini dans l'espace affine homogène ayant pour origine O = (0 0 0 1)^T et comme base les vecteurs orthonormés e1 = (1 0 0 0)^T , e2 = (0 1 0 0)^T et e3 = (0 0 10)^T.

Exprimez puis donnez les coordonnées du point P2, image du point P1 ayant subi toutd'abord une rotation de 20° autour de l'axe de vecteur (1 4 0 0)^T passant par le point P = (-1 2 -10 1)^T puis une translation de vecteur (1 2 3 0)^T, puis une mise à l'échelle de facteurs 2, 1 et 4.

L'utilisation d'un quaternion vous permettra d'obtenir P2 plus rapidement.

Pour la question 1 j'ai supposé qu'il fallait simplement faire un matrice de Transformation composer d'une translation vers B puis d'une rotation autour de l'axe z avec comme angle pi/2. Mais c'est là que je doute car je ne comprend pas particulièrement le

passant par le point B

ça fait un coté dynamique pour quelque chose qui me semble fini (on fait la rotation et c'est tout) qui me pose problème.

Pour l'exercice 2, je suppose qu'il faut faire un changement de repère (a cause de l'axe (1 4 0 0)) et appliquer une suite de transformations en commençant par la rotation puis la translation et les mise à l'échelles.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses, je ne recherche pas la réponse exacte mais si là façon dont j'ai réfléchis est bonne et si non, si vous pourriez m'expliquer là ou je me trompe et ou je devrais regarder.
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[Dlzlogic]

Bonjour,
Je regrette toujours qu'une question bien posée reste sans réponse.
Le calcul matriciel est un outil mathématique. On vous demande d'écrire une matrice, je suppose que ça pourrait être destiné à une opération plus globale.
L'énoncé parle de LA matrice de rotation, et non d'UNE matrice de transformation, en l'occurrence, une isométrie.
L'axe de rotation est l"axe OZ, donc l'opération peut être faite dans le plan XOY.
Je vous laisse continuer.

[pm42]

Mais c'est là que je doute car je ne comprend pas particulièrement le ça fait un coté dynamique pour quelque chose qui me semble fini (on fait la rotation et c'est tout) qui me pose problème.

Pourquoi dit tu que c'est un aspect dynamique ? Représente toi quelque chose qui tourne autour de toi et que tu veux décrire : tu as besoin de dire quel est son axe, donc une droite donc 2 points par lesquels elle passe.
Ou 1 point par lequel elle passe et un vecteur directeur. C'est bien ce qui t'est donné ici.

L'axe de rotation est l"axe OZ, donc l'opération peut être faite dans le plan XOY.

Justement non puisqu'il ne passe pas par le point (2, 5, -3).

[Dlzlogic]

@ pm42

Citation Envoyé par Dlzlogic Voir le message
L'axe de rotation est l"axe OZ, donc l'opération peut être faite dans le plan XOY.
Justement non puisqu'il ne passe pas par le point (2, 5, -3).

Ta remarque est due au fait que j'ai oublié la qualificatif "parallèle à" après "est" ou parce que tu dis que l'opération ne peut pas être faite dans le plan XOY ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Ta remarque est due au fait que j'ai oublié la qualificatif "parallèle à" après "est" ou parce que tu dis que l'opération ne peut pas être faite dans le plan XOY ?

Ma remarque est due au fait que tu as dit quelque chose de faux. Un "oubli" en maths ne pardonne pas.

[invitef5cd9b59]

Bonjour,

Tout d'abord merci de vos réponse. J'arrive à me représenter une rotation, j'ai d'ailleurs tenter de modéliser celle ci grâce à un moteur 3D, je n'ai pas de soucis avec les opération matriciel. Ce qui me perturbe c'est que je ne comprend pas le passant par le point B (que j'ai compris comme une translation). Donc j'ai dans un premier temps calculé la matrice de rotation d'un angle de 90° avec coordonnées homogènes et la matrice de translation de P vers B et enchaîné translation puis rotation pour être autour de l'axe Oz mais en étant sur B.


La matrice de translation :

La matrice de Rotation:

On enchaîne la translation et la rotation pour trouver la matrice finale.


Pour moi c'est comme ça que je l'ai vu et c'est sur ce point que je pense me tromper. Si vous pourriez m'éclairer je vous en serais très reconnaissant.

[Dlzlogic]

Je vous propose l'application numérique suivante pour la question 1.
Déterminer le transformé, par la rotation ainsi définie, du point A(1 ; 3 ; 2).

[invitef5cd9b59]

Je vous propose l'application numérique suivante pour la question 1.
Déterminer le transformé, par la rotation ainsi définie, du point A(1 ; 3 ; 2).

En faisant cette application numérique en suivant mon raisonement:

Je calcul mon vecteur V=(1,2,-5,1)^T

Je le remplace dans ma matrice final pour trouver :

[Dlzlogic]

Je ne suis pas sûr qu'on parle de la même chose.
La rotation est définie par
- la direction de l'axe V(0;0;-1)
- l'axe passe par B(2;5;-3)
- l'angle est 90°
- le point A (1;3;2)
Quel est le point A' transformé par cette rotation
On est 3D, donc A' a un X, un Y et un Z.

[invitef5cd9b59]

Je ne suis pas sûr qu'on parle de la même chose.
La rotation est définie par
- la direction de l'axe V(0;0;-1)
- l'axe passe par B(2;5;-3)
- l'angle est 90°
- le point A (1;3;2)
Quel est le point A' transformé par cette rotation
On est 3D, donc A' a un X, un Y et un Z.

Vous venez de mettre en évidence la partie que je ne saisie pas.

-La direction de l'axe je comprend j'utilise donc une Matrice de rotation autour de l'axe z :



Et c'est passant par B ou là j'admet être complètement paumé. . Je l'ai vu comme faire une translation de A ver B pour que peu importe l'angle de rotation autour de l'axe z pendant sa rotation mon point A passe sur le point B.

[invitef5cd9b59]

Je reviens vers vous pour l'exercice un après avoir fait des recherches différentes pour l'application numérique donné plus haut :



Définisson alors une matrice T qui nous permet de ramener le point B à l'origine (c'est cette subtilité qui faisait que je ne comprenais pas ce que je devais faire du moins si ce que je fais là est juste)



Notre matrice de Rotation sur l'axe 0z ayant pour angle 90°.



On effectue alors le calcul suivant :


Et enfin on applique celà à notre point A par :



J'espère vraiment que cette fois j'ai saisi le principe.

[sylvainc2]

Je vois un problème: R_z est la rotation autour de l'axe dirigé par (0,0,1) alors que l'énoncé de la question 1 spécifie autour de v=(0,0,-1).

Une méthode générale est de faire un changement de base: on construit à partir de ce v une base orthonormée directe, par exemple on prend u = (0,1,0) et on calcule avec le produit vectoriel par exemple w = (-1,0,0) de sorte que (w,u,v) est cette nouvelle base, puis on fait M = T^-1 ( P R_z P^-1) T où P = [w u v] est la matrice de passage de la base canonique à la nouvelle base. On obtient la bonne matrice M.

[invitef5cd9b59]

Effectivement, je vous remercie de votre aide cette partie est maintenant limpide pour moi.