Diviseurs d'un polynôme dans ℂ
Bonjour,
Une question me pose problème, la voici:
Quels sont tous les diviseurs de P dans ℂ[X], P = (x^2 + 2)(x − i) .
J'ai commencé par développer (un peu) l'expression ce qui me donne: P = x(x^2 + 2) - i(x^2 + 2).
Le soucis c'est que je ne vois pas dans quelle direction partir pour résoudre cette question. Trouver tous les diviseurs, cela revient à trouver les racines de l'expression ?
Merci de m'indiquer la piste ou démarche à suivre.
On dit que le polynôme Q divise le polynôme P, si il existe un polynôme M tel que P = QM
Développer P est donc une très mauvaise idée.
D'accord.
Donc je dois trouver Q et M ? Je sais effectuer une division euclidienne entre 2 polynômes mais dans ce cas je ne vois pas comment procéder.
Si x est une racine de Q, que peut-on dire de P(x)?
Et bien on peut dire que P(x) = M je crois.
Si je te demandais les diviseurs de 3^2*2^3 comment ferais-tu ?
Et bien là je sais directement avec les puissances qu'il y a 12 diviseurs pour le nombre 3^2*2^3.
Pour ensuite les trouver, je fais un arbre et j'obtiens rapidement: 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72.
Ca n'a pas de sens ! P(x) est un nombre et M un polynôme.Envoyé par orca10
Plus sérieusement, si P(x) = Q(x)M(x), et que Q(x) = 0, que vaut P(x)?
Ba si Q(x) = 0 alors P(x) vaut 0.
Mais je sais pas trop, on peut dire que les diviseurs de P = (x^2 + 2)(x − i) sont (x^2 + 2) et (x − i) non ?
Ca m'étonne si c'est juste ça qu'il faut faire..
Parce que pour un entier, ex: 10, je peux dire que les entiers sont 1, 2 et 5 n'est-ce pas ?
Mais là je vois pas pour le polynome...
J'aurais dit que les diviseurs sont: (x^2 + 2) , (x − i) et 1 du coup ?
Merci de votre aide
Pour 10 tu as oublié 10 qui est aussi un diviseur .
En passant si tu factorises ton polynôme de départ c'est à dire factoriser (x²+2), les diviseurs seront toutes les combinaisons dans ta factorisation . (comme tu l'as fait précédemment mais avec des nombres ).
cdt
Oui 10 aussi tu as raison.
Mais là je ne peux pas du tout factoriser ce polynôme malheureusement.
Du coup la réponse à la question serait: Les diviseurs du polynôme P = (x^2 + 2)(x - i) sont:
- (x^2 +2)
- (x-i)
- (x^2 +2)(x - i)
- 1
Ca me parait un peu trop simple à vrai dire...
Pourquoi tu ne peux pas factoriser x²+2 ? On est dans C[X] donc ce polynôme a des racines dans C .
Une fois que tu l'auras factoriser tu auras trouvé tes autres diviseurs .
cdt
Ah oui tu as raison.
Donc (x^2 +2) = (x + √2 i)(x - √2 i)
Du coup tous les diviseurs sont:
- (x + √2 i)
- (x - √2 i)
- (x-i)
- (x + √2 i)(x - √2 i)(x - i)
- 1
C'est correct ou j'en oublie ?
Merci de l'indication shezone
Oui tu en oublies !!
Il n'y a même plus x²+2 !!!!
Sois sérieux, pense à ce qu'il peut y avoir dans les diviseurs.
Ah pardon, du coup:
- (x + √2 i)
- (x - √2 i)
- (x-i)
- (x^2 + 2)
- (x^2 + 2)(x - i)
- (x + √2 i)(x - √2 i)(x - i)
- 1
Comment ça ce qu'il y a dans les diviseurs.. ?
- (x^2 + 2)(x - i)
- (x + √2 i)(x - √2 i)(x - i) ce sont les mêmes .
Il doit y avoir 7 polynômes diviseurs non triviaux , donc il t'en manque encore .
cdt
Il en manque encore !
Si tu écrivais systématiquement, à partir des 3 facteurs (x + √2 i), (x - √2 i) et (x-i), tu obtiendrais les 8 diviseurs : 0 facteur (1), un seul facteur, deux facteurs, trois facteurs.
Ok j'ai compris !
Merci à vous de votre aide.
