Matrice réelle avec au moins une valeur propre non réelle

**mehdi_128** · 29/05/2017, 13h46

Bonjour,

Soit A une matrice de M3(R) donc les valeur propres sont de module 1.

On sait que A admet au moins une valeur propre non réelle de la forme $\text{[math]}$

Déterminer le spectre de A.

Je bloque.

Merci.

**AncMath** · 29/05/2017, 13h58

As-tu pensé à factoriser le polynome caractéristique sur $\text{[math]}$ ?

**mehdi_128** · 29/05/2017, 19h13

Envoyé par AncMath

As-tu pensé à factoriser le polynome caractéristique sur $\text{[math]}$ ?

Le polynôme caractéristique s'écrit :

$\text{[math]}$

car $\text{[math]}$

Après je vois pas comment déterminer mes 2 autres valeur propres...

**gg0** · 29/05/2017, 19h37

Comment sont les racines d'un polynôme réel de degré 3 ?

Cordialement.

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**mehdi_128** · 29/05/2017, 20h08

Envoyé par gg0

Comment sont les racines d'un polynôme réel de degré 3 ?

Cordialement.

Le polynôme caractéristique d'une matrice réelle est toujours réel ? Comment le montrer ?

Bah les racines complexes d'un polynôme de R[X] sont 2 à 2 conjuguées et de même ordre de multiplicité.

DOnc la deuxième racine est : $\text{[math]}$

La troisième valeur propre est réelle et vaut soit 1 soit -1 car de module 1.

**gg0** · 30/05/2017, 08h36

Mehdi128

Le polynôme caractéristique d'une matrice réelle est toujours réel ?

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