Ordre d'une matrice

[mehdi_128]

Bonsoir,

On sait que toute matrice de Mn(C) d'ordre fini est diagonalisable dans Mn(C).

Soit A une matrice de M3(Z) d'ordre fini tel que Sp(A)={} ou Sp(A)={}

1/ Montrer que A est diagonalisable dans M3(C).

Le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples donc A diagonalisable dans M3(C) c'est correct ?

2/ Déterminer l'ordre de la matrice A.

La correction donne un ordre de 4. Moi je trouve 3 dans les 2 cas, je calcule D^3 et je tombe sur I3. D est semblable à A et vaut diag(lambda1,lambda2,lambda3).

Quel est le bon résultat ?

Merci.
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[mehdi_128]

J'ai oublié une précision on est dans le cas ou donc et

[Resartus]

Bonjour,

Le terme "ordre" appliqué à une matrice est ambigu tiré de son contexte, car généralement, cela désigne simplement la dimension.

Je comprends qu'on parle ici de l'ordre au sens des groupes finis, c'est à dire l'entier (quand il existe) t.q. A^p=In, ce qui implique que les valeurs propres doivent être des racines nièmes de l'unité

Vous avez dû faire une erreur dans votre calcul, car avec les valeurs propres i, -i et +1 ou -1, c'est bien 4 et pas 3...

De manière générale, cela sera le plus petit multiple commun à l'ordre des valeurs propres : ici -1 est d'ordre 2, mais i et -i sont d'ordre 4...

[mehdi_128]

Bonjour,

Le terme "ordre" appliqué à une matrice est ambigu tiré de son contexte, car généralement, cela désigne simplement la dimension.

Je comprends qu'on parle ici de l'ordre au sens des groupes finis, c'est à dire l'entier (quand il existe) t.q. A^p=In, ce qui implique que les valeurs propres doivent être des racines nièmes de l'unité

Vous avez dû faire une erreur dans votre calcul, car avec les valeurs propres i, -i et +1 ou -1, c'est bien 4 et pas 3...

De manière générale, cela sera le plus petit multiple commun à l'ordre des valeurs propres : ici -1 est d'ordre 2, mais i et -i sont d'ordre 4...

Ah en effet merci j'avais fait une erreur de calcul je multipliais D^2 par lui même au lieu de faire DD^2

[A voir en vidéo sur Futura]