Une question simple et pourtant

[invite974154ec]

Bonjour

Voici un petit problème que je pose là:

Jean Michel fait un trajet d'un point A à un point B. A l'aller il parcours une distance X. Au retour il ne prend pas le même chemin et parcours une distance Y. Quelle surface aura t-il couvert en faisant ces trajets?

Voilà ça semble pas compliqué et la réponse mathématique que je propose est:

l'aire vaut l'intégrale entre A et B de (f(x)-g(x))dx

avec f: x -> f(x) la "fonction" de l'allé et g celle du retour.

Cependant n'ayant ni f ni g ...

Ceci étant dis je n'ai aucune idée de s'il s'agit là d'un problème du supérieur ou collège lycée libre aux modo de déplacer ma question.

Sur ce , bonne journée
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[invited3a27037]

bonjour

Il serait plus intéressant de demander quelle est l'aire maximale délimitée par les chemins aller et retour.

[invite23cdddab]

La surface peut être aussi petite qu'il le souhaite. Pensons par exemple à un T, a l'aller il va de en haut à droite à en haut a gauche, et au retour, il va en bas puis remonte : aire zéro.

Effectivement, l'aire maximale est un problème plus intéressant. Et fait, la meilleure possibilité c'est de faire un trajet en cercle de périmètre X+Y : il parcours le cercle de A vers B, puis continue pour revenir à A. C'est un résultat qui est donné par l'inégalité isopérimétrique (un résultat classique qui dit que le cercle est la surface d'aire maximale à périmètre fixé)

Du coup, ça permet de répondre à la question de l'aire maximale dans le cas ou A, B, X et Y sont données (un arc de cercle pour l'aller, un arc de cercle pour le retour)

[invite9dc7b526]

Effectivement, l'aire maximale est un problème plus intéressant. Et fait, la meilleure possibilité c'est de faire un trajet en cercle de périmètre X+Y : il parcours le cercle de A vers B, puis continue pour revenir à A.

c'est plus compliqué que ça. J'intuite que le chemin délimitant la plus grande aire à x et y fixés est composé de deux arcs de cercle, mais n'est pas nécessairement un cercle. Même si seul x+y est fixé mais pas x le chemin n'est un cercle que si x+y est suffisamment grand.

[A voir en vidéo sur Futura]

[slivoc]

Salut,

Si les chemins ne sont pas des graphes de fonctions de [0,1] dans R continues, voir si ils ne sont pas injectifs, regarder des intégrales n est pas si évident ? Il faudrait voir les chemins entre À et B dans le plan complexe et prendre des intégrales le long des chemins, mais ça risque de ne pas faire ce qu on attend ?

Bonne soirée !

[invitedf3b174e]

bonjour

[invitebc19a927]

Ben d'abord il faudrait préciser dans quel genre d'espace sont ces points A et B. Un plan ? Un 3D, sur une sphère ? Un espace hyperbolique (demi-plan de Poincaré ?), pire encore ?
Ensuite, si on est dans un plan euclidien par exemple, la proposition de prendre l'intégrale de |g-f| (les aires négatives, ce n'est pas intuitif) sur les bornes considérées ne me semble pas mauvaise. Bien sûr qu'on ne connait pas ces fonctions : on ne sait rien des trajets, sauf qu'ils vont de A à B puis de B à A.
L'aire est égale à 0 si les trajets aller et retour ont le même support (sont identiques sauf le sens). Et il n'y a pas d'aire maximale, même si on s'oblige à rester dans un "tube" autour du segment AB. Il suffit de prendre à l'aller un segment et au retour une fonction du style sin(10^n*x).

[invite974154ec]

Bonjour à tous et merci pour cet entrain.

Je précise un peu mon problème et surtout son origine.

J'ai un matériau avec une surface spécifique Si dans un volume V (autrement dit un matériau poreux).
Je fais un traitement à ce matériau et j'obtiens une surface Sf mais le volume V n'a pas changé. (je dissous une espèce (C) pour en recréer une autre (D) dans un volume fini)

La question que je me posais était : quel est la quantité d'espèce D formée, quel est le volume d'espèce D (Vd) formé dans le volume ?

Comme la question était pas si simple, j'ai voulu descendre d'une échelle en posant le problème sur un segment fini. Les bornes A et B représentent les bornes de mon volume V et les trajet X et Y les surfaces Si et Sf.

Est ce que j'ai le droit de représenté mon problème physique par le problème que je vous ai posé?

Maintenant si ça vous parle plus, vous pouvez réfléchir en terme de nappe paramétrées. Disons qu'il y a deux nappes paramétrées dans un espace (O,x,y,z), Quel est le volume compris entre ces deux nappes?

Perso je trouve pas de réponse