Distances equivalentes, pourtant ça a l'air simple mais...

[invite5d9066d8]

Bonsoir !
Donc comme j'ai commencé à écrire dans l'intitulé : distances équivalentes, pourtant ça a l'air simple mais... je dois être bouché. Je suis en train de refaire les démonstrations des propriété qu'on apprend en "Introduction à la Topologie", et je m'attaque à celle-ci : si d~d' (d et d' sont des distances sur E un espace métrique), alors un ouvert pour d est un ouvert pour d', et inversement. Seulement voila, je m'embrouille entre les équivalences, j'ai essayé de faire une analogie avec les unités de mesure, j'ai pris 1cm<1m<1000cm, puis j'ai essayé "d'emboiter" des boules pour d et d' entre elles, et je n'y arrive pas. Si quelqu'un peut me me donner un coup de pouce, ce serais cool !
Merci de m'avoir lu.
CheikHNewtoN.
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[invitebe0cd90e]

Suffit d'ecrire les definitions

U est ouvert ssi des que tu prends un x dans U, il existe un reel r>0 tel que la boule de centre x et de rayon r est incluse dans U.

Prend un ouvert U relativement a d et prend un point x dedans. Il existe donc un reel r>0 tel que pour tout y, d(x,y)< r => y dans U.

Or, par definition de l'equivalence, il existe un reel a>0 tel que ad'(x,x') < d(x,x') pour tout x et x'. Donc en particulier d'(x,y) < r/a , donc la boule de centre x et de rayon r/a, relativement a la distance d', est incluse dans U.

[invite5d9066d8]

Bonsoir jobherzt !
Effectivement c'etait tout bête. Je deconnecte souvent en ce moment, va falloir faire quelquechose ! Merci a toi !
CheikHNewtoN.

[invitebe0cd90e]

Pardon, ce que j'ai ecris est faut il fallait lire :


Or, par definition de l'equivalence, il existe un reel a>0 tel que d(x,x') < ad'(x,x') pour tout x et x'. DOnc si tu prends y tel que d'(x,y) < r/a, alors d(x,y) < a d'(x,y), donc d(x,y) < a.r/a donc d(x,y) < r, donc y appartient a la boule de centre x et de rayon r relativement a d, donc est dans U.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5d9066d8]

D'accord, mais rassure moi s'il te plait (comme ça je serais sur d'avoir bien compris xD), ce que tu a rajouté, c'est juste la 2eme etape, i.e tu a montre pour ad'(x,x')<d(x,x') et la deuxieme fois du a montré pour d(x,x')<bd'(x,x'), histoire de montrer dans les deux sens (est-ce que je m'exprime bien ? -_-). Je m'excuse si je parait confus.

[invitebe0cd90e]

Non, il ne s'agit pas de le montrer dans les 2 sens, je me suis melangé les pinceaux dans les egalités. Notons B et B' les boules pour les distances d et d'.

Je sais que B(x,r) est inclus dans U. Si je veux montrer qu'il existe une certaine B' incluse dans U, je vais en trouver une qui est incluse dans B(x,r). Pour faire ca, il faut utiliser l'inegalité en sens inverse de mon premier message. Formellement : soit B'(x,r') une boule. Je veux trouver r' tel que . Donc je prends y dans B(x,r'), par definition d'(x,y) < r'. Et je veux que y soit dans B(x,r), donc c'est pour ca que j'ai besoin de l'inegalité dans ce sens : il existe a>0 tel que d(x,y) < a d'(x,y). Donc d(x,y) < a r', et il suffit de prendre r'=r/a pour avoir et donc l'inclusion voulue. C'est la que c'est un peu subtil, pour montrer l'inclusion , il faut utiliser l'inegalité de la forme d<d', en "sens inverse". J'espere que c'est plus clair.

[invite5d9066d8]

D'accord, j'ai compris (pour de vrai cette fois, puisque ce que j'ai ecrit sur mes brouillon se retrouve dans ce que tu dis). Merci a toi et bonne soirée !
CheikHNewtoN.