racines dans un corps de décomposition

[invitee75a2d43]

Bonjour, je viens de lire un truc qui m´intrigue dans un livre d´agrégation. Il s´agit en fait du chapitre sur la construction de corps finis, mais c´est secondaire, là n´est pas le problème.

En fait il s´agit de corps de décomposition. Je cite donc le livre:

"Soit K un corps et K_m un corps de décomposition du polynôme X^m - 1 sur K.
Soit U_m l´ensemble des racines de X^m - 1 dans K_m.
Alors l´ensemble U_m des racines m-ièmes de l´unité forme un groupe cyclique de cardinal inférieur ou égal à m."

Ce sont les éléments en caractères gras que je comprend pas: Je croyais que de par la définition même d´un corps de décomposition, le polynôme en question a exactement m racines. Alors pourquoi ce inférieur ou égal?

D´autre part, je croyais que P admet un unique corps de décomposition sur K. Donc je ne comprend pas qu´ils écrivent un corps de décomposition de P sur K.
Je sais que ce ne sont que des détails, mais justement les détails en maths....

merci d´avance

Christophe
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[invite4ef352d8]

Sauf si le polynome ce met à avoir des racines multiples !

P=X^m-1

donc P'=m.X^(m-1)

donc si m est différent de 0 dans K, c'est bon toute les racines de P dans des extension algébrique sont simple, mais si m est nul dans K (la caractéristique du corps divise m) alors il y a des racines multiples et donc le polynome n'as pas m racines distinct dans son corps de décomposition...

typiquement, si m=p est la caractéristique du corps, on a X^p-1=(X-1)^p, du coup la seul racine du polynome c'est 1 !

[invitee75a2d43]

Oh merci Ksilver, j´avais pas pensé à cette option.

[invitebe0cd90e]

Quant a l'unicité c'est peut etre une question de vocabulaire. Pour moi "le" corps de decomposition c'est le plus petit corps qui contiennent toutes les racines. Mais j'imagine qu'on peut appeler "corps de decomposition" tout corps qui contient lesdites racines, meme si ce n'est pas le plus petit, cad en gros tout sur-corps "du" corps de decomposition C'est peut etre ca qu'ils veulent dire...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Ben ta définition est aussi celle que je connais et que je lis dans les livres, le caractère minimal du corps de décomposition.

[invite4ef352d8]

un corps de décomposition, c'est un corps sur lequel le polynome est scindé et qui est engendré par les racines du polynome. Je ne connais aucun livre qui appelle "corps de décomposition" tout corps sur lequel le polynome est scindé, et de toute facon, même en prenant un corps plus gros ca ne change pas le nombre de racines du polynome donc ca ne réponderai pas à la question.

[invitebe0cd90e]

ca ne réponderai pas à la question.

Il y avait deux questions Evidemment ca ne change pas la reponse concernant le nombre de racines.

[invite4ef352d8]

Ah oui désolé, j'avais pas vu :S

Un corps de décomposition est comme je l'ai dit "un corps sur lequel le polynôme est scindé et qui est engendré par les racines"

ensuite on à un théorème qui dit que "si K et K' sont deux corps de décomposition de P alors il existe un isomorphisme (non unique en général) f:K->K' . "

qui nous permet de dire "Le" corps de décomposition de K.
mais ce "Le" est un peu abusif, parceque cette unicité est à isomorphisme non unique près. par exemple si tu veux parler d'un element x dans le corps de décomposition, si tu n'as pas au préalable fixé UN corps de décomposition alors ton element est définit seulement à action du groupe de galois près...

en gros quand on dit "un" ca veut dire qu'on en choisit un, afin de lever tous les problème qui pourait eventuellement suivre.

cependant il y à beaucoup de cas ou on peut ce permettre de parler "du corps de décomposition" sans prendre de précaution : à chaque fois qu'une cloture algébrique du corps de base est fixé par exemple... ce qui est par exemple le cas quand on travail sur des polynome à coeficient réel ou rationel : dans ce cas on prend implicitement l'unique corps de décomposition qui est un sous corps de C...