Sur le mot de Fibonacci

[invitebc19a927]

Bonjour,
On connait la substitution sur un alphabet à deux lettres : a donne ab, b donne a, qui produit un mot sturmien, mot non déterministe de complexité minimale.
Celui-là est dit "de Fibonacci" parce que le mot de la génération $n+2$ résulte de la concaténation du mot de la génération $n+1$ avec, à droite, celui de la génération $n$.
c'est dire : a ; ab ; aba ; abaab ; etc.
Mais je ne sais pas comment démontrer que cette substitution entraîne cette propriété. Autrement dit, je constate que cette substitution donne cette concaténation avec les deux mots précédents, mais je ne sais pas le démontrer. Par récurrence, peut-être ? Quelqu'un peut-il m'aider ?
-----

[invitebc19a927]

Rebonjour et pardon pour le dérangement.
Comme il arrive parfois, d'avoir posé la question semble m'avoir débloqué la comprenette. Si c'est vrai, j'ai posé une question triviale.
Partant de la dite substitution, je note f(m) la manière dont elle transforme un mot m.
Par exemple, f(babaa) = aabaabab.
Comme cette substitution agit lettre par lettre, il est clair que f(mn)=f(m)f(n) (mn ici est la concaténation des deux mots).
Dans ces conditions, la propriété se démontre immédiatement par récurrence. Il est vrai que le mot de la génération 3 aba résulte de la concaténation des mots de génération 2 (à gauche) ab et 1 (à droite) a.
L'hypothèse de récurrence donne (en notant $m_k$ le mot de génération k) : $m_{k+2}= f(f(m_k)=f(m_k)m_k$.
On applique f aux deux membres : $m_{k+3}=f(f(m_k))f(m_k)=m_{k+ 1}m_k$. CQFD.