Petit problème de proba pour les passionnés

[Lymaongle]

Bonsoir à tous,
suite à une passionnante partie de belote, nous avons été dans l'incapacité de calculer une proba.
Alors je vous présente ça sous la forme d'un petit problème, si certain ont envie de s'amuser/s'entrainer, car nous aimerions vraiment avoir la réponse mais nous n'avons pas assez de connaissances pour poser le calcul...
D'ailleurs, nous somme preneur du détail de ce calcul si vous l'avez

Alors :

Au départ j'ai quatre piques en main sur les 8 en jeu.
Je n'ai pas le 10 de pique.
Pour que mon équipe gagne la manche il ne faut pas que l'un de mes adversaires ait le 10 second.
("le 10 second" signifie le 10 ET un autre pique. Donc si il n'a QUE le 10 nous gagnons la manche)
De plus, si mon partenaire a le 10, qu'il soit seul ou avec d'autre piques, nous gagnons la manche.

Question (vous vous en doutez) : Quelle est la probabilité pour mon équipe de gagner ou de perdre cette manche ?


Précision : la belote coinchée se joue par équipe de 2 avec une jeu de 32 carte. Donc 8 cartes par couleurs. Chaque joueur a 8 cartes en mains au début de la manche.
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[Resartus]

Bonjour,
Je suppose qu'il n'y a aucune indication sur les répartitions des autres cartes.... et je suppose que les cas 10 troisième ou quatrième chez l'adversaire sont également défavorables?

1) On gagne si le 10 est chez le partenaire : probabilité 1/3
2) Si le 10 est chez un adversaire (probabilité 1/3 pour chacun), on gagne si aucun des 3 autres piques n'est chez lui : il reste 23 places , dont 7 cas défavorables. Probabilité favorable 16/23*15/22*14/21

Total : 1/3+2*1/3*16/23*15/22*14/21=54%

[redrum13]

Il me manque une info: si un des adversaire possède le 10 en troisième ou en quatrième? => perte ou victoire?

[Lymaongle]

En effet, comme l'a bien supposé Resartus, le 10 troisième ou quatrième pour les adversaires est bien synonyme de défaite.

54 % me semble faible, mon intuition m'orientait plutôt autour des 75%... comme quoi.
Merci !
Reste a voir si tout le monde trouve la même réponse.. (sans vouloir te manquer de respect Resartus)

[A voir en vidéo sur Futura]

[redrum13]

Ok j'ai la solution alors.
J'expliquerai le calcul après.

Je trouve donc 14 cas défavorables sur 81 possibilités: soit 17% de chance de perde donc 83% de victoire.

[Lymaongle]

Ah.. il semblerait que vous ne soyez pas tout à fait d'accord sur le résultat...

[Kairn]

Moi je trouve 53%, donc plus proche de ce qu'a Resartus, mais pas tout à fait le même résultat

Mon raisonnement est ici :

 Cliquez pour afficher

Pour la répartition des 4 autres piques, il y a 3^4=81 possibilités.

Il y a 3^3=27 possibilités pour lesquelles le 10 est chez l'ami ; dans ce cas on gagne.
Il y a 3^3=27 possibilités pour lesquelles le 10 est chez l'adversaire 1. On gagne si aucun des 3 piques restants n'est chez lui, autrement dit s'il se répartissent entre l'ami et l'adversaire 2 : ça fait 2^3=8 situations gagnantes.
Idem si le 10 est chez l'adversaire 2.

Il y a donc 27+8+8=43 combinaisons gagnantes, pour 81 possibilités, donc une proba de 43/81 = 0.53.

Ceci dit, le raisonnement de Resartus me semble bon. C'est énervant d'être d'accord avec deux raisonnements qui ne donnent pas le même résultat x)

[Resartus]

Bonjour,
Kairn, ton raisonnement pour l'attribution des piques autres que le 10 marcherait si on n'avait pas un nombre limité de cartes par jeu. car la probabilité d'attribution d'un nouveau pique ne changerait pas en fonction des cartes déjà fournies, et serait de 1/3 pour chaque joueur.

Mais ici, il n'y a que 24 cartes en tout à fournir. Si on a déjà fourni le 10 de pique à l'un des joueurs, il ne reste que 23 cases à remplir, et la probabilité que le pique suivant tombe ailleurs que dans son jeu n'est plus 16/24=2/3, mais 16/23, ce qui est un peu meilleur que 2/3. Quand le deuxième pique a été attribué, il ne reste que 22 cases, dont seulement 15 favorables. 15/22 ; Et pour le 3 ème pique, la probabilité devient 14/21 (soit 2/3). Au total, la probabilité que le joueur du camp adverse qui a reçu le 10 le conserve sec est donc le produit, 16/23*15/22*14/21 soit un peu meilleur que les (2/3)^3 que tu as estimé.

Pour info, dans le sens inverse (on tire des boules de diverses couleurs dans un sac), ce que tu calcules est ce qu'on appelle un tirage avec remise (on remet la boule tirée dans le sac, et on se contente de noter le résultat), alors que mon calcul est un tirage sans remise, où la probabilité pour chaque nouvelle boule dépend de ce qu'on a déjà retiré du sac précédemment.

A noter qu'on pourrait retrouver ces résultats différemment, à partir du nombre de combinaisons totales de 4 piques dans 24 cartes (qui vaut (24.23.22.21)/(1.2.3.4) et du nombre de combinaisons favorables (un peu plus compliqué : un bon exercice de dénombrement). Le calcul contient des nombres plus grands, mais on aboutira au même résultat (heureusement)

[Kairn]

Bonjour ,

Ah d'accord, mon erreur vient des histoires de remises/sans remises. Merci pour l'explication
Et du coup je suis d'accord avec le résultat de Resartus !

[redrum13]

Ok j'ai la solution alors.
J'expliquerai le calcul après.

Je trouve donc 14 cas défavorables sur 81 possibilités: soit 17% de chance de perde donc 83% de victoire.

Voici comment j'ai procédé:
* il reste 4 cartes de piques à répartir parmi 3 joueurs ce qui fait 3*3*3*3=81 possibilités
* On a répertorié 14 mains défavorables qui correspondent à 10 en second, 10 en troisième et 10 en quatrième possédées par un des adversaires: {10;7};{10;8};{10;9};{10;7;8}; {10;7;9};{10;8;9} et {7;8;9;10} (à multiplier par deux puisque deux adversaires).

Donc je trouve 14/81 de chances de perdre.

Cdt.

[redrum13]

Ah.. il semblerait que vous ne soyez pas tout à fait d'accord sur le résultat...

Alors sur les 81 répartitions possibles je suis d'accord.

[Resartus]

Bonjour,

Redrum13, quand on compte les configurations, on ne peut pas se contenter de regarder les cartes d'un seul jeu.

Par exemple, 10,9 dans la main de l'adversaire n°1, correspond en réalité à 4 possibilités : 8,7 chez le partenaire, 8 chez le partenaire et 7 chez l'adversaire 2 , 7 chez le partenaire et 8 chez l'adversaire 2 et 8,7 chez l'adversaire 2.
Les calculs donnent ainsi :
10,9 ; 10,8, 10,7 : 3*4=12 possibilités
10,9,8;10,9,7;10,8,7 : 3*2=6 possibilités
10,9,8,7 : 1 possibilité

Au total cela fait 19 cas défavorables pour chaque adversaire, soit 38 en tout (47% défavorables ou 53% Favorables)
Tu retrouves le calcul fait par Kairn
(Mais, comme je l'ai déjà expliqué, il faut prendre en compte le fait qu'on n'a que 8 cartes par joueur en tout, ce qui augmente un peu ce chiffre

[redrum13]

Bonjour,

Redrum13, quand on compte les configurations, on ne peut pas se contenter de regarder les cartes d'un seul jeu.

Par exemple, 10,9 dans la main de l'adversaire n°1, correspond en réalité à 4 possibilités : 8,7 chez le partenaire, 8 chez le partenaire et 7 chez l'adversaire 2 , 7 chez le partenaire et 8 chez l'adversaire 2 et 8,7 chez l'adversaire 2.
Les calculs donnent ainsi :
10,9 ; 10,8, 10,7 : 3*4=12 possibilités
10,9,8;10,9,7;10,8,7 : 3*2=6 possibilités
10,9,8,7 : 1 possibilité

Au total cela fait 19 cas défavorables pour chaque adversaire, soit 38 en tout (47% défavorables ou 53% Favorables)
Tu retrouves le calcul fait par Kairn
(Mais, comme je l'ai déjà expliqué, il faut prendre en compte le fait qu'on n'a que 8 cartes par joueur en tout, ce qui augmente un peu ce chiffre

Oui c'est sur que j'ai un peu merdé sur ce coups

[Lymaongle]

Merci pour vos réponses.
Je suis maintenant convaincu que je n'avais absolument aucunes chances d'arriver à calculer ça seul.
Et convaincu aussi que j'avais sur-estimé la probabilité de réussite, ce qui, au fond, réduit un peu mon échec (car oui, c'est bien un adversaire qui a eu le 10 second...)