Méthode de Cardan et extraction de racines cubiques

[mgtoul]

Bonjour,

La méthode de Cardan est une méthode de résolution des équations de degré 3. Par un changement de variable , elle se ramène à la résolution d'une équation de degré 2. Les solutions de cette équation de degré 2 sont et et est une solution de l'équation de degré 3.
Ma question est comment calcule-t-on à partir du ?

Par exemple, si on prend l'équation de degré 3 : (de la forme ), alors en posant et en imposant on se ramène à la résolution du système

Ainsi et sont solutions de , soit et . Et c'est là que l'on a besoin d'extraire la racine cubique de .
Une fois que l'on a les racines cubiques, qui valent ici et alors on a solution réelle de .
Et donc, le point qui me dérange est : comment extrait-on la racine cubique de ?


Merci.
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[joel_5632]

Bonjour,

On détermine les racines cubiques des complexes à partir des formes trigonométriques
Evidemment ça marche bien quand on a des nombres "simples" comme

Si on reste sous forme algébrique a+ib, il me semble bien que la recherche des racines cubiques conduit à une équation du 3 ème degré. On tourne en rond.

Ajout: Je me suis trompé, ça n'a rien à voir avec la question posée

[joel_5632]

En général on se contente d'écrire pour la racine cubique d'un réel r. Il y a quelques cas particuliers comme dans ton exemple où la racine cubique peut s'écrire sous une forme simplifiée.

[gg0]

Bonjour.

La méthode de Cardan donne des racines exprimées comme des racines cubiques de complexes. Malheureusement, il n'existe pas de méthode purement algébriques pour exprimer ces racines par des calculs sur des réels (partie réelle+partie imaginaire, ou module et un argument) dans tous les cas.
Sauf cas particuliers, les équations à coefficients réels ayant 3 racines réelles ne permettent pas une expression à base de calculs algébriques (4 opérations, puissances, racines carrées et cubiques) sur les coefficients.
Mais évidemment, par des méthodes non algébriques exactes, on sait exprimer les racines (avec des fonctions trigonométriques inverses par exemple).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]