Bonjour !

Soit avec .

1. Donner la forme générale des solutions sur .

2.a. Soit g une solution sur de classe . Montrer que g est prolongeable par continuité en 0.
2.b. Donnez une condition nécessaire pour que g soit dérivable en 0. Cette condition est-elle suffisante ?

3. On suppose que f est de classe et que la condition précédente est réalisée. Montrer que f est de classe (sur ? ? L'énoncé ne précise pas).


Voici ce que j'ai fait :

1. Une solution de l'équation homogène est avec réel. Je cherche des solutions particulières de la forme . En dérivant et en injectant, j'obtiens :
donc




et une solution générale est donc de la forme : , avec A réel.

Là j'ai un premier problème : je ne suis pas sûr d'avoir le droit d'écrire cette intégrale, le 1/t² est un peu gênant... Je pensais donc l'écrire pour t entre 1 et x, ça revient à changer la constante derrière et donc le A final : ai-je bien le droit de faire ça ?

2.a. On a g(x) = f(x)+xg'(x). f étant de classe sur , elle admet une limite en 0. Mais qu'en est-il de xg'(x) ? A priori on ne sait pas grand chose. Si j'utilise la solution de la question 1 avec l'intégrale qui commence à 0, on a





et ceci me semble avoir une limite quand x -> 0.
Et si je ne peux pas utiliser cette intégrale, alors je l'écris en la commençant à 1, et en dérivant la solution générale, je me retrouve à me demander ce qu'il se passe lorsque une des bornes tend vers 0... Bref, je tourne un peu en rond. Y aurait-il quelqu'un pour m'éclairer ?

2.b. Pour que g soit dérivable en 0, j'ai dit qu'il fallait qu'en 0, g(x)-f(x) = O(x), pour s'assurer que g'(x) = (g(x)-f(x))/x reste borné au voisinage de 0. Ce n'est pas suffisant, car cela ne garantit pas l'existence d'une limite.

3. Sur , l'égalité g'(x) = (g(x)-f(x))/x montre que g' est de classe , donc g de classe .
Pour étudier en 0, je dérive : (j'ai utilisé (E)). Et de nouveau, je ne sais pas si ceci admet une limite ou non en 0.

Quelques aides ? J'ai l'impression de mal m'y prendre.

Kairn