Bonjour !
Soitavec
.
1. Donner la forme générale des solutions sur.
2.a. Soit g une solution surde classe
. Montrer que g est prolongeable par continuité en 0.
2.b. Donnez une condition nécessaire pour que g soit dérivable en 0. Cette condition est-elle suffisante ?
3. On suppose que f est de classeet que la condition précédente est réalisée. Montrer que f est de classe
(sur
?
? L'énoncé ne précise pas).
Voici ce que j'ai fait :
1. Une solution de l'équation homogène estavec
réel. Je cherche des solutions particulières de la forme
. En dérivant et en injectant, j'obtiens :
donc
![]()
et une solution générale est donc de la forme :, avec A réel.
Là j'ai un premier problème : je ne suis pas sûr d'avoir le droit d'écrire cette intégrale, le 1/t² est un peu gênant... Je pensais donc l'écrire pour t entre 1 et x, ça revient à changer la constantederrière et donc le A final : ai-je bien le droit de faire ça ?
2.a. On a g(x) = f(x)+xg'(x). f étant de classesur
, elle admet une limite en 0. Mais qu'en est-il de xg'(x) ? A priori on ne sait pas grand chose. Si j'utilise la solution de la question 1 avec l'intégrale qui commence à 0, on a
et ceci me semble avoir une limite quand x -> 0.
Et si je ne peux pas utiliser cette intégrale, alors je l'écris en la commençant à 1, et en dérivant la solution générale, je me retrouve à me demander ce qu'il se passe lorsque une des bornes tend vers 0... Bref, je tourne un peu en rond. Y aurait-il quelqu'un pour m'éclairer ?
2.b. Pour que g soit dérivable en 0, j'ai dit qu'il fallait qu'en 0, g(x)-f(x) = O(x), pour s'assurer que g'(x) = (g(x)-f(x))/x reste borné au voisinage de 0. Ce n'est pas suffisant, car cela ne garantit pas l'existence d'une limite.
3. Sur, l'égalité g'(x) = (g(x)-f(x))/x montre que g' est de classe
, donc g de classe
.
Pour étudier en 0, je dérive :(j'ai utilisé (E)). Et de nouveau, je ne sais pas si ceci admet une limite ou non en 0.
Quelques aides ?J'ai l'impression de mal m'y prendre.
Kairn
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