Décimales d'un rationnel positif non décimal

[mehdi_128]

Bonjour,

Soit x un nombre rationnel positif non décimal on pose avec a et b entiers premiers entre eux.

On définit par récurrence 2 suites d'entiers naturels (dn) et (rn) tel que :
d0 et r0 sont le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
d(n+1) et r(n+1) sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 10r(n) par b.

On a : et

rn est le reste de la division euclidienne de par b.

On rappelle la propriété : x=a/b est décimal si et seulement si il existe alpha et beta entiers naturels tel que :

1/ Démontrer que parmi les nombres au moins 2 d'entre eux sont congrus modulo b.

Ce qui me bloque c'est que je sais pas à quoi correspond mon 10^k , x ou 10rn ?

Merci.
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[gg0]

Là encore, tu comprendras mieux si tu prends un exemple pour x, pat exemple le classique 22/7.

Car ta question est bizarre ! il n'y a pas vraiment de 10^k, k n'apparaît que comme indice dans une somme, donc lettre sans signification ailleurs ! Et dans la somme, il n'y a qu'à appliquer la règle des sommes.

[mehdi_128]

Là encore, tu comprendras mieux si tu prends un exemple pour x, pat exemple le classique 22/7.

Car ta question est bizarre ! il n'y a pas vraiment de 10^k, k n'apparaît que comme indice dans une somme, donc lettre sans signification ailleurs ! Et dans la somme, il n'y a qu'à appliquer la règle des sommes.

Mes nombres sont 10^0 , 10, ..., 10^(b-1) mais ces nombres correspondent à x, a ou b ? Pour pouvoir utiliser les propriétés sur le reste :

donc

[gg0]

Ben ...généralement ni à x, ni à a, ni à b.

Mais pourquoi poser cette question, tu n'as pas lu l'énoncé que tu as présenté au message #1 ? Il est très clair, il suffit de le lire et de le comprendre. C'est ton travail, fais-le ! Tu ne vas pas passer ta vie d'étudiant à te faire faire par les autres ce que tu dois faire toi-même.

Je t'ai proposé une méthode simple pour bien comprendre ton énoncé, mets-toi au travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Ben ...généralement ni à x, ni à a, ni à b.

Mais pourquoi poser cette question, tu n'as pas lu l'énoncé que tu as présenté au message #1 ? Il est très clair, il suffit de le lire et de le comprendre. C'est ton travail, fais-le ! Tu ne vas pas passer ta vie d'étudiant à te faire faire par les autres ce que tu dois faire toi-même.

Je t'ai proposé une méthode simple pour bien comprendre ton énoncé, mets-toi au travail !

Non j'aimerais bien y arriver seul, je veux juste des indications pour avancer.

Je considère les restes de la division euclidienne des 10^k par b pour 0 =< k < b :

Pour k = 0 : et

Pour k=1 comment faire ?

[gg0]

Heu ... tu ne fais pas le problème dont tu as donné l'énoncé dans ton message #1 ?

[mehdi_128]

Heu ... tu ne fais pas le problème dont tu as donné l'énoncé dans ton message #1 ?

Bah si ils parlent de congruence modulo b donc pour ça que je fais la division de 10^k (k dans [0,b-1]) par b et j'étudie le reste

[mehdi_128]

En combinant j'ai trouvé l'équation suivante :



donc r1 est le reste de la division euclidienne de 10 par b.

De même : donc r2 est le reste de la division euclidienne de 100 par b.

Donc les b restes de la division des 10^k avec k entre 0 et b-1 sont dans [1,b-1] donc au moins 2 des restes sont égaux car card([1,b-1])=b-1

Donc au moins 2 nombres des 10^k sont congrus modulo b

[gg0]

Bon,

puisque tu ne suis aucun conseil, même pas celui de lire l'énoncé inutile de continuer ...

[mehdi_128]

Bon,

puisque tu ne suis aucun conseil, même pas celui de lire l'énoncé inutile de continuer ...

J'ai répondu à l'exercice je comprends pas votre remarque.