produit direct et somme directe

[invitec998f71d]

bonjour

je lis que sommes et produits directs par exemple d espaces vectoriels sont construits a partir
des produits cartesiens (les couples ou tuples)
en quoi different ils d autant plus qu ils coincident dans le cas fini?
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[AncMath]

De deux choses l'une, produit direct et somme directe même d'un nombre fini de facteurs sont en general différent. Par exemple pour les ensembles ca n'est clairement pas là même chose, pour les espaces topologiques non plus. Donc il est loisible de ne pas les confondre.
Pour les espaces vectoriels les produits d'un nombre fini d'espaces et les sommes d'un nombre finis d'espaces sont canoniquement isomorphes. C'est un petit miracle qui a lieu dans toutes les catégories additives.
Pour un nombre infini d'espaces vectoriels ca n'est pas le cas. Le produit est plus gros, la somme directe est le sous espace du produit dont les éléments sont les uplets dont presque tous les termes sont nul i.e tous sauf un nombre fini d'entre eux.

[invitec998f71d]

merci
j avais noté cette difference pour les EV
est ce qie ca vient des definitions ou est que l on dit que c est une somme si le cas est fini?

[AncMath]

Je ne comprend pas la question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec998f71d]

je pense avoir trouvé ici
la reponse a ma question mal formulée.
on ne demontre pas que si le support est on a une somme directe. ca fait partie de la definition de la somme
directe des ev et pour 2 ev somme = produit est une evidence par definition

[invite9dc7b526]

est ce qie ca vient des definitions

c'est quelque-chose d'assez général en maths: les propriétés des objets découlent de leur définition (puisqu'il n'y a rien d'autre)