Intégrabilité d'une fonction cpm sur un segment

[kizakoo]

Bonjour, pour une fonction continue par morceaux sur un segment on a le théorème suivant:

Toute fonction continue par morceaux sur un segment y est intégrable. (1)

et on a par définition :

une fonction continue par morceaux est intégrable sur un intervalle I ssi il existe M dans R+ tel que pour tout segment [a.b] inclus dans I l'intégrale de a à b de module de f est majorée par M. (2)

En vertu de (2) et en voulant démontrer le (1): (ici I =[a,b])
On a f cpm sur un segment [a,b] donc elle y est majorée donc son module l'est aussi (notons M le majorant du module). En intégrant donc de a à b le module de f ===> on obtient une majoration de l'intégration du module par (b-a)M qui est bien dans R+ ...d'où l'intégrabilité de f en vertu de (2)

MAIS

Dans quasi toutes les démonstrations de (1) que j'ai pu trouvées sur internet on utilise la borne inf et sup des fonctions en escaliers encadrant f ???

(notamment :http://melusine.eu.org/syracuse/imma...analyse/02.pdf
PAGE 5 )

Je suis confus et je ne sais pas où est la faille dans mon raisonnement.

J'attends impatiemment une réponse.
Merci
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[Resartus]

Bonjour,
(2) n'est PAS une définition des fonctions continues par morceaux. Elle s'appuie en fait sur le théorème 1.
D'ailleurs, la formulation que vous donnez part de l'hypothèse qu'il existe une intégrale entre a et b, et c'est justement cela qui n'est pas évident et qu'il faut montrer.

Pour mieux comprendre la difficulté, demandez-vous à quoi peuvent ressembler des fonctions qui ne sont PAS continues par morceaux*, et pourquoi on ne peut pas en trouver d'intégrale par la méthode dite de Riemann que vous apprenez actuellement (il faudra utiliser d'autres méthodes, comme celle de Lebesgue mais vous n'en êtes pas encore là)

*un exemple classique est une fonction qui vaut 1 pour tous les rationnels et 0 pour les réels non rationnels