n divise (n-1)!

[invite2598cf60]

Bonjour, je bloque sur un exo d'arithmétique dont l'énoncé est :

Déterminer n appartenant à N* tel que n divise (n-1)!.

Merci d'avance pour votre aide
-----

[Matmat]

c'est quel niveau ? par ex 6 divise 5!

[Resartus]

Bonjour,
Si n n'est pas premier, il sera le produit de deux facteurs n1 et n2 différents de 1. Que peut-on dire de n1 et de n2 par rapport à n-1?

[invite2598cf60]

1 < n1,n2 < n
1 < n1,n2 =< n-1

mais je ne vois pas où ça mène...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour ce genre d'exercice, regarder ce que ça donne pour les petites valeurs de n est éclairant : N= 1 ? n=2 ? n=3 ? n=4 ? n=5 ? n=6 ?
Puis on examine pourquoi ça s'est passé comme ça.
C'est quand même élémentaire !!

[invite2598cf60]

D'accord, si j'ai bien compris il y a 4 cas possibles.

1. Cas particulier de n=1 :

1 | 0!, donc 1 est solution.

2. Cas de n>1, non premier et non carré parfait :

n = n1n2
n1,n2 =< n-1
donc (n-1)! = (n-1)...n1..n2..1
donc n1n2 divise (n-1)!, n divise (n-1)!

3. Cas de n carré parfait :

n = p^2
p =< n-1
donc p divise (n-1)!
reste à prouver que p^2 divise (n-1)...

4. Cas de n premier :

Je n'ai aucune idée de comment démarrer ce cas.

[Matmat]

tu peux prouver facilement que si n pair alors n divise toujours (n-1)!

[invite2598cf60]

tu peux prouver facilement que si n pair alors n divise toujours (n-1)!

ah bon ? parce que 2 ne divise pas 1! et 4 ne divise pas 3!

[Matmat]

ho exact , ils sont trop petits .

[invite2598cf60]

an mon avis c'est surtout que 2 est un nombre premier et 4 un carré parfait

je pense que si l'un de vous acceptait de m'expliquer comment traiter les cas n°3 et 4 de mon message précédent, cela pourrait rapidement nous amener à une résolution du problème

[Matmat]

je comprend pas ton 3 , pourquoi tu regarde les carrés parfaits.
pour le 4 , si n est premier alors il ne peut être produit de termes de (n-1)! ... conclusion ?

[invite2598cf60]

parce que quand n = n1n2 avec n1,n2 distincts et inférieurs à n-1, il est évident que n divise (n-1)!

or quand n = p^2, on a p inférieur à n-1, donc p divise (n-1)!, mais comment savoir que le quotient de (n-1)! par p^2 donnera un entier ? je sais qu'il y a un calcul à faire menant à la conclusion que seul 4 ne fonctionne pas, mais je ne sais pas lequel.

et effectivement pour les nombres premiers c'est tout bête...

[Matmat]

ce n'est pas parce qu'il est carré parfait qu'il n'est pas produit de termes distincts

[invite2598cf60]

d'accord, mais c'est le cas de 4 et de 9, pourtant 9 fonctionne et pas 4 ; il y'a donc quelque chose à faire là dessus.

peut-on stopper la maïeutique pour quelques messages et simplement essayer de résoudre ce problème ? cela m'aiderait grandement. merci

[Matmat]

la réflexion sur les carrés parfaits est inutile .
n premier ne fonctionne pas pour la raison dite plus haut .
donc écarter les nombres premiers puis déterminer quand un multiple d'un nombre premier n'est pas "trop petit" comme fait plus haut avec les pairs .

[invite2598cf60]

donc écarter les nombres premiers puis déterminer quand un multiple d'un nombre premier n'est pas "trop petit" comme fait plus haut avec les pairs .

ahah j'ai cru que la rigueur était de mise en mathématiques (à prendre au ^2)

[Resartus]

Bonjour,
Si tu bloques encore, c'est parce ta typologie "carré parfait" tout court pour le 3 n'était pas suffisante : si c'est le carré d'un nombre non premier, on peut trouver deux autres facteurs différents et on se ramène au cas 2

En précisant "carré d'un nombre premier", cela devrait aller mieux... Et ensuite, il faut voir combien de fois le p en question apparaît dans (n-1)!. D'où la notion de "'trop petit" de Matmat

[Matmat]

si n=p² alors soit q=2p , q divise (n-1)! ssi q <= n-1 or q=2p=2.rac(n) donc ça fonctionne dés que 2.rac(n) <= n-1
4 est le seul nombre non premier qui ne fonctionne pas , tous les autres sont suffisamment grand pour toujours vérifier 2.rac(n) <= n-1.

[invite2598cf60]

Merci beaucoup matmat c'est clair maintenant !