A propos de prépondérance o(x) et domination O(x)

[bendesarts]

Bonjour,

Lorsque l'on fait de l'analyse numérique, il y a besoin de quantifier l'erreur d'une méthode numérique (cf ci-dessous).

On définit l'ordre de la méthode approchée de la manière suivante :

On dit que l'erreur de la méthode approchée est d'ordre s'il existe une constante telle que



Dans beaucoup de livres, on trouve alors la notation grand O(x).

Dans ma jeunesse, je n'avais appris seulement la notation petit o(x) que l'on retrouve lorsque l'on regarde des relations de prépondérances entre deux fonctions ou dans les développements limités. Par contre, je n'avais pas appris ce grand O(x).

Pouvez-vous me renseigner sur les élements suivants par rapport au grand O(x) :
- comment est-ce qu'on peut l'interpréter,
- est-ce que la définition donnée ci-dessous est correcte,
- enfin et surtout, qu'elles sont les liens entre o(x) et O(x), à titre d'exemple est-ce o(x) implique forcement O(x) ?

f est négligeable devant g ou g est prépondérante devant la fonction f ce qui se note lorsque :



g domine la fonction f ce qui se note lorsque :



P.S: je suis plus interessé avec des réponses qui appuient sur le coté pratique (pour la physique ou les sciences de l'ingénieur) que des développements mathématiques trop formelles.

Merci d'avance pour vos aides.
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[gg0]

Bonjour.

Ta définition pour o(g(x)) pose problème si g s'annule au voisinage de a. Préfère celle ci :
f(x)=o(g(x)) en a si et seulement si f(x)=g(x)e(x) où e(x) tend vers 0 quand x tend vers a.
Si g(x) ne s'annule pas sur un voisinage de a, tu peux diviser par g(x) et retrouver ta définition.

Pour O(g(x)), ce n'est pas la bonne définition. Il n'est pas nécessaire qu'il existe une telle limite.
f(x)=O(g(x)) au voisinage de a s'il existe un voisinage V de a et une constante M telle que pour tout x de V on a |f(x)|<M|g(x)|.

Il est facile de voir que si f(x)=o(g(x)) en a, alors f(x)=O(g(x)) au voisinage de a : Si e tend vers 0 en a, il existe un voisinage de a sur lequel |e(x)|<1, et on prend M=1.

J'espère que ce développement n'est pas trop formel (et pas "formelle", développement est un masculin) pour toi, car c'est quand même un minimum pour appréhender sainement ces questions.

Cordialement.

[bendesarts]

Bonsoir,

Ta réponse m'éclaircit des choses.

J'avance un peu plus dans ma problématique de calcul d'ordre.

Dans les calculs d'ordre, ces notations o(x) et O(x) sont utilisées via des développements de Taylor.

Peux-tu me dire si ces trois expressions d'un développements de Taylor à l'ordre 2 sont équivalentes



ou



ou

?

Merci d'avance pour ton aide.

[gg0]

A partir du moment où tu passe de o à O, il n'y a plus équivalence. Revois mon premier message, puis réfléchis !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[bendesarts]

MErci pour ton retour.

Je crois que je comprends ta remarque et j'espère que je vais pouvoir l'utiliser.

Si je comprends bien, est-ce que je peux dire que



=> (implique)



ou



Celà me permettra alors de faire les raisonnements sur des grand O et retrouver les développements qui sont effectués pour la détermination d'ordre de schémas d'intégration.

P.S: à noter, j'ai modifié les deux dernières expressions.

Merci d'avance pour ton aide.

[gg0]

Ta première ligne implique de façon évidente la troisième. Tu dois savoir pourquoi (utilise les définitions et prouve), pour manipuler correctement ces notations.
Mais de la première à la deuxième, je ne vois pas ! Il s'agit de deux idées très différentes.

NB : On dirait que tu veux apprendre par cœur des résultats au lieu d'utiliser ton intelligence pour comprendre les définitions et t'en servir. Il y a trop de règles secondaires en maths pour espérer s'en sortir ainsi; et gaspiller l'intelligence n'est pas intelligent.

Cordialement.

[bendesarts]

Je te remercie pour ton aide.
On progresse, ou plus précisément, j'avance dans mes compréhensions.

Rappel des expressions :

(1) :

(2) :

(3) :

P.S: A noter, j'avais fait une erreur sur le petit o() et O() qui porte sur h et non sur x.

A) A propos de l'implication (1) --> (3) relatif au passage d'un petite o(h) à grand O(h) sur ce développement de Taylor soit :

=> (implique)

Voici ma tentative de démonstration :









Est-ce que tu aurais des idées sur la justesse ou non de ma démonstration ? Peux-tu m'apporter tes commentaires sur cette dernière ?

B) A propos de la notation (2) soit :



Elle a l'air équivalente à l'expression (1) et permet seulement de ne pas avoir une expression avec un résidu qui tend vers 0 et de préserver une expression exacte.

As-tu déjà vu ce type d'écriture ? A-t-elle d'ailleurs un nom et comment elle s'interprète ?

Je te remercie d'avance pour ton aide.

P.S :
A l'époque, j'ai fait une prépa PT et je n'avais vu que la notion o(x) que j'utilisais pour faire des DLs mais je n'ai jamais appris les notations suivantes : la notation O(x) et la notation avec la variable theta qui semblent très utilisées en analyse numérique. Je te remercie d'avance pour ta compréhension devant mes difficultés à appréhender ces notions et les informations que tu pourras m'aider.

Au passage, je mets en copie le type de calculs que je rencontre et que j'aimerais mieux comprendre :

ordre dérivé numérique.PNG

ordre dérivé numérique_2.PNG

[gg0]

A) Première à deuxième ligne OK. Ensuite je ne sais pas ce que tu fais. D'où sort ce sup ? Et qu'est devenu le o(h²) ? Alors qu'il suffit d'appliquer la définition de o(h²), puis de remarquer qu'une quantité qui tend vers 0 est bornée, par exemple est comprise à partir d'un certain moment entre -1 et 1. Et de faire un vrai calcul (application de règles et de définitions, seulement de règles et définitions).

B) C'est une notation classique, une des forme de la formule de Taylor. A condition de remplacer le y(x) par f(x). Si f" est bornée sur ]x,x+h[, on en déduit tout de suite que f(x+h)=f(x)+hf'(x)+O(h²). Quant à , ce n'est pas une notation, simplement une lettre. Tu peux remplacer par t si tu veux.
J'ai vu ton type de calcul, il relève de la remarque que je fais ci-dessus, d'une simple application de la définition de O.

Il va te falloir te décider à commencer à penser cette définition.

Cordialement.

[bendesarts]

Merci pour ton retour. Il me faudrait encore quelques éléments pour clarifier les liens entre ces expressions.

A) Voici une nouvelle tentative de démonstration :

Ligne 1 :

Ligne 2 :

Ligne 3 :

Ligne 4 :

... (A COMPLETER)

Ligne X :

Et de faire un vrai calcul (application de règles et de définitions, seulement de règles et définitions)

C'est là que j'aimerais bien ton expérience! il me manque peut-être de la pratique pour raisonner correctement sur ces notions mais je devrais y arriver.

Peux-tu compléter cette démonstration en me spécifiant les règles et définitions à bien appliquer ?

B) OK, je crois comprendre le raisonnement utilisé que je reformule ci-dessous :

f est bornée sur l'intervalle d'étude ]x,x+h[ et f s'écrit sous la forme : (2) : est équivalent à dire (3) :

Démonstration :







D'où d'après la définition :

Je te remercie pour ton aide.

[gg0]

A) Il faut pouvoir remplacer par un majorant M pour prouver ce que dit la ligne X. f"(x) est une constante, et tend vers 0, donc au voisinage de h, on a ; sur ce voisinage,


B) tu parles de "équivalent à dire", alors qu'il n'y a aucune équivalence, d'ailleurs tu n'en démontres pas; tu démontres simplement que la première propriété a pour conséquence la deuxième. Dans l'autre sens, on ne peut rien faire (d’où sortirait le ) ?

NB : Il n'est pas nécessaire de passer les autres termes dans le premier membre, tu peux traiter directement le terme qui t'intéresse, par exemple , comme je le fais ci-dessus.

[ansset]

bjr,
je ne m'immisce que très brièvement.
il me semble bendestarts cherche une relation "directe" entre les deux notations.
du style un o(xⁿ) "serait à fortiori un O(xⁿ⁺¹)
ce qui est faux, il suffit de voir de développement de sin(x) en 0 par exemple:
sin(x)=x-x³/3!+x⁵/5!+...
au rang 3 le reste est bien un o(x³) mais pas pour autant un O(x⁴), puisque c'est aussi un o(x⁴​)!

[gg0]

Effectivement, il semble chercher des équivalences alors qu'il n'y en a pas.
mais en travaillant la signification des notations, en revenant aux définitions, il finira pas avoir des habitudes utiles.

Cordialement.