relation de comparaison, la domination

[invite270c37bc]

Bonjour,

je ne saisis pas encore exclusivement bien le principe de domination pour une fonction. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer de façon plus approfondie?

je rappelle la définition :

sur les bons intervales et les bonnes valeurs, f est dominée par g au voisinage de a ssi il existe la constante positive M telle que :

abs( f(x)) < ou = abs( M * g(x) )

Je ne comprends pas où se trouve la domination... en prenant un M très grand toutes g domine toutes f au voisinage de a...

merci.
sleinininono
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[invite23cdddab]

Attention, c'est pour tout x sur un voisinage de a (et pas juste au point a!).

Par exemple g(x) = x^2 ne domine pas f(x) = x au voisinage de 0:

Quelque soit M, |f(x)| > M|g(x)| pour tout x dans ]-1/M,1/M[

Donc quelque soit le voisinage V de 0 choisi, on ne peut pas trouver de constante M qui convienne

[invite270c37bc]

Merci pour votre réponse.

Ainsi, on a

x^2 = O(x)
x^2 = o(x)

on est d'accord?

A ce moment, si on a
f = 1
g = 2

alors g domine f dans le voisinage de n'importe quel point? (oui l'exemple n'a peut être pas forcément grand intérêt mais c'est pour bien comprendre)


Par ailleurs, la définition de domination et de négligence sont elles toujours par rapport à une limite en a de 0? Il semble absurde de parler de valeurs absolues si la limite est autre.

[gg0]

Bonjour Sleinininono.

Une lecture de la définition de O t'aurait donné la réponse à ta dernière question. C'est au voisinage de n'importe quelle valeur a. Mais en pratique, on ne s'intéresse pas à des fonctions qui ont des limites finies non nulle en a. A priori, seulement des fonctions qui tendent vers 0 ou l'infini.

Enfin, sans précision, ces notations n'ont pas de sens
"x^2 = O(x)
x^2 = o(x) " ????
Au voisinage de 0 c'est vrai, quand x tend vers l'infini, non.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite270c37bc]

merci gg0. Bonne soirée à tous.

[invite270c37bc]

Rebonjour.

Pourriez vous me dire pourquoi si cos x est équivalent à 1 au vois. de 0, cos x - 1 n'est pas équivalent à zéros au voisinage de zéro ?

Je me rappelle de mes cours de spé qui disent que l'on ne peut pas avoir de dénominateur nul ( ce qui serait ici le cas de cette équivalence) mais je n'ai pas l'impression qu'on divise par zéros si on exclu la borne ?

encore merci.

[gg0]

En fait, en a f est équivalente à g s'il existe une fonction e tendant vers 1 en a, telle que f=ge.
Si tu prends pour g la fonction nulle (dans les équivalents, ce sont des fonctions) comment est f ?

Par contre, il se trouve que cos(x)-1 tend vers 0; mais en général si f et g sont équivalentes en a, il n'y a pas de raison que f-g tende vers 0.

Cordialement.