Diagonalisation ( Notion étrange )

**Anonyme007** · 10/09/2017, 12h44

Bonjour à tous,

Je fais ce matin la remarque suivante à propos de la diagonalisation d'une application linéaire $f$ , et ça m'intrigue un peu cette notion. Pouvez vous me donner une interprétation théorique de ce qui suivra, ou au moins me corriger ce que j'ai en tête ?. Voici le problème :

Un endomorphisme d'espace vectoriel $E$ est une application $f : E \to E$ vérifiant les deux conditions suivantes :
$1) \forall x,y \in E \ : \ f(x+y)= f(x) + f(y)$
$2) \forall x \in E \forall \alpha \in \mathbb{R} \ : \ f( \alpha x ) = \alpha f(x)$

Concentrons nous sur la condition : $2) \forall x \in E \forall \alpha \in \mathbb{R} \ : \ f( \alpha x ) = \alpha f(x)$

On peut la réécrire comme suit :
Si $f$ est linéaire, alors :
$\forall x \in E \forall \alpha \in \mathbb{R} \ : \ f( \alpha x ) = f ( \varphi_{ \alpha } (x) ) = f \circ \varphi_{ \alpha } (x) = \varphi_{ \alpha }^* ( f ) (x) = \alpha f(x)$
Autrement dit, $f$ est linéaire si : $\varphi_{ \alpha }^* ( f ) = \alpha f$ avec : $\varphi_{ \alpha }^*$ définie par : $\varphi_{\alpha}^* : \mathrm{End} ( E ) \to \mathrm{End} ( E )$ vérifiant : $\varphi_{ \alpha }^* ( f ) = f \circ \varphi_{ \alpha }$ ( i.e : $\varphi_{\alpha}^*$ est le pullback de $\varphi_{ \alpha } )$ .

Alors, est ce qu'on peut dire que :
Si $f$ est linéaire, alors : $\forall \alpha \in \mathbb{R} \ \ : \ \ f$ est un vecteur propre commun à la famille $( \varphi_{ \alpha }^* )_{ \alpha \in \mathbb{R} }$ associée à la valeur propre $\alpha$ puisque : $\varphi_{ \alpha }^* ( f ) = \alpha f$ pour tout : $\alpha$ .

Est ce que cette remarque possède une interprétation profonde en théorie de diagonalisation et théorie spectrale ?

En termes de base de diagonalisation et de réduction matricielle, comment cela peut-il être réinterprété aussi ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 10/09/2017, 12h57

Pardon, c'est bête est inutile tout ça.

L'énoncé :
Si $f$ est linéaire, alors : $\forall \alpha \in \mathbb{R} \ \ : \ \ f$ est un vecteur propre commun à la famille $( \varphi_{ \alpha }^* )_{ \alpha \in \mathbb{R} }$ associée à la valeur propre $\alpha$ puisque : $\varphi_{ \alpha }^* ( f ) = \alpha f$ pour tout : $\alpha$
signifie tout simplement que :
$f$ commute avec l'homothétie : $\alpha I_n$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ ( i.e : $A.( \alpha I_n ) = ( \alpha. I_n ).A$ avec $A$ la matrice associée à $f$ ).

Je m'excuse, je reconnais que je suis bête.

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