Bonsoir, j'ai deux questions portant sur la réduction des endomorphismes:
1) si l'on considère un C espace vectoriel et A une matrice reelle admettant une valeur propre réelle peut-on prouver l'existance d'un vecteur propre réel associé à cette valeur propre?
2) pour un R-espace vectoriel peut-on considérer que le polynôme X(X*2+X+1) est scindé à racines simples?
J'attends impatiemment vos réponses. Merci d'avance
Bonjour,
1) le polynome caractéristique étant à coefficients réels, le polynome minimal aussi : les racines sont soit réelles, soit complexes conjuguées deux à deux : si une de ses racines est réelle et simple, elle aura des vecteurs propres sur R. Mais si cette racine réelle est multiple, il n'y aura pas de vecteur propre, même sur C (ce ne sera pas un polynome scindé...)
2) Sur R, le polynome n'est pas scindé, puisque il n'est pas produit de polynômes de degré 1....
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
En quoi le fait que la racine soit multipleMais si cette racine réelle est multiple, il n'y aura pas de vecteur propre, même sur C (ce ne sera pas un polynome scindé...)
1) rend le polynôme non scindé?
2) entraine une absence de vecteur propre?
Bonjour,
Désolé, mes phrases n'étaient peut-être pas très claires : le polynome caractéristique peut très bien avoir des racines doubles; c'est si le polynome MINIMAL a une racine double qu'il est non scindé.
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Comment ça?
Prend la matrice
Son polynôme caractéristique est, qui est scindé
Son polynôme minimal est encore
Bonjour,
Merci Resartus, Merci Tryss2
Je pense que Resartus veut dire scindé a racines simples (???) quoique ca reste non necessaire pour l'existence d'un vecteur propre réel. Sinon je reetere les questions de Tryss2 surtout la seconde "....2) entraine une absence de vecteur propre"
Merci
Bonjour,
Mes excuses pour l'erreur.
Et après vérification*, j'avais tort sur la question 1, même en rectifiant en "simplement scindé". S'il existe une racine réelle, y compris multiple, la partie de l'endomorphisme associée à cette valeur sera au moins trigonalisable. Donc il existera un SEV de vecteurs propres de dimension au moins 1 (facile à voir dans l'exemple pris par Tryss2)
Et réciproquement, pour la question 2, Il ne peut pas y avoir de vecteurs propres correspondant à la partie non scindée du polynome.
*Pour être sûr de ne plus écrire de bêtise, j'ai vérifié ici :https://perso.univ-rennes1.fr/matthi.../reduction.pdf
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