Sous-variétés differentielles

[mcheddadi]

Bonjour,
Je souhaite obtenir des éléments de réponse sur l les questions suivantes :
1. Soit
f : X -> Y
une application lisse d'un variété lisse X de dimension n dans une variété lisse Y de dimension m.
Soit y un élément de Y qui a au moins une pré image et tel que :
df(x) : TxX -> TyY soit surjective pour tout x tel que f(x) = y.
Montrer, comme application immédiate du théorème sur la forme locale canonique d'une submersion, que la primage de y est une sous-variété de X. Quelle en est la dimension
?
2. Soit :
f : R2 -> R
(x,y) -> x^3 + xy + y^3 + 1
Quels sont parmi les points suivants : p=(1,1) p=(0,0) p=(1/3,1/3) ceux pour lesquels f^-1(f(p)) est une sous-variété de R^2 ?

Cordialement.
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[Anonyme007]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part,
D'après la forme locale d'une submersion, se met localement au voisinage de et de sous la forme ( Application linéaire de qui est une projection surjective : ).
Par conséquent : .
D'où, est localement difféomorphe à
D'où : est une sous variété de dimension par définition.

Cordialement.

[mcheddadi]

Merci.
Et donc de dimension p-q ?

[mcheddadi]

Et comment mettre en evidence le role de df(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Bonjour,

A mon avis, lorsque tu affirmes :

1. Soit une application lisse d'un variété lisse de dimension dans une variété lisse de dimension .
Soit un élément de qui a au moins une pré image et tel que :
soit surjective pour tout tel que .

Tout cela se résume en un mot : Soit une submersion, puis tu appliques la forme locale des submersions comme c'est expliqué dans mon premier message.

Quant à la question autour de dimension de , j'ai utilisé une autre notation , mais si tu veux garder les mêmes notations de ton énoncé, c'est , d'accord ?.

Cordialement.

[mcheddadi]

Dire que df(x)( application tangente ) est surjective est la même chose que dire que la différentielle au point x est surjective ?

Merci.

[Anonyme007]

Oui, regarde ici : http://citron.9grid.fr/docs/memoireM2.pdf , page : et .