Isométrie sur un espace métrique compact

[mcheddadi]

Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour prouver qu'une isométrie sur un espace métrique compact est un homéomorphisme.
C'est une application lipdchizienne, donc uniformément continue sur un compact. Il est facile de montrer qu'elle est injective. Mais je n'arrive pas à démontrer qu'elle est surjective. Ensuite il faudra montrer que sa réciproque est continue.

Cordialement
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[invite23cdddab]

On note ton isométrie

L'idée est la suivante :

Soit x dans E.

Définissons la suite d'éléments de E par

Maintenant, la compacité te donne l'existence d'une sous-suite convergente. Donc d'une sous-suite de Cauchy. Essaye d'utiliser ça plus le caractère isométrique de f pour montrer que x est la limite d'une suite d'éléments de f(E). Conclus