recherche de démonstration d'une formule

[ordage]

Bonjour
Je cherche une démonstration de la formule suivante:



pour toute valeur impaire de n. Elle est non nulle si n est pair.

Notons que cette formule peut s'écrire de différente façons équivalentes:



J'ai essayé de faire une démo sans succès et j'ai cherché, sans trouver dans les polynômes de Legendre (sur wolfram mathworld en particulier) où je pensais trouver, car cette expression intervient dans le coefficient de degré n d'un polynôme qui de ce fait serait pair.

Merci pour la solution ou toute info qui y conduirait.
Cordialement
-----

[eudea-panjclinne]

Bonjour
J'arrive à égaler votre expression à, sauf erreur,

qui est proche, effectivement, d'une expression des polynômes de Legendre, mais je ne sais que faire, avez-vous mieux ?

[ordage]

Bonjour
J'arrive à égaler votre expression à, sauf erreur,

qui est proche, effectivement, d'une expression des polynômes de Legendre, mais je ne sais que faire, avez-vous mieux ?

Bonjour
Merci pour ta réponse, je pense que cela fait avancer les choses.
Voir équation (32) par exemple dans:

http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html

Juste une précision, car je n'étais pas allé aussi loin que toi dans le formalisme.
J'étais resté à:


Je suppose que tu utilises:


En fait je n'avais pas donné toute la formule, je la joins ci-dessous car à la lecture de l'équation citée dans wolfram, cela peut aider.


Car mon problème est "juste" de montrer que les puissances impaires du polynôme
sont nulles, car ce polynôme donne la solution (qui doit être un nombre réel) d'un problème physique alors qu'en fait x est un nombre imaginaire pur (x = iy où y est réel). Peut-être que cela peut aider à comprendre.
En tous cas merci pour ton aide qui m'a permis d'avancer d'une case.

Très cordialement

[JB2017]

Bonjour
C'est une série hypergéométrique
Plus précisément c'est égal à (n!) près à F(-n,1/2,1,2). C'est facile à vérifier.

Maintenant on a la relation

Il reste donc à calculer cette dernière intégrale qui dans notre cas est:
Elle vaut évidemment 0 quand n est impair à cause de la symétrie par rapport à u=1/2. cqfd

[A voir en vidéo sur Futura]

[ordage]

Bonjour
C'est une série hypergéométrique
Plus précisément c'est égal à (n!) près à F(-n,1/2,1,2). C'est facile à vérifier.

Maintenant on a la relation

Il reste donc à calculer cette dernière intégrale qui dans notre cas est:
Elle vaut évidemment 0 quand n est impair à cause de la symétrie par rapport à u=1/2. cqfd

Bonjour

Très grand merci pour la solution!

Par contre, comme je ne suis pas du tout familier avec les fonctions et séries hypergéométriques, et bien que je me sois documenté suite à ton post, dans:

http://mathworld.wolfram.com/Hyperge...cFunction.html

où l'équation (16) pour la définition par une intégrale montre clairement le lien entre ta première équation et l'intégrale donnée dans la deuxième, laquelle effectivement étant anti-symétrique par rapport à 1/2 prouve bien que les termes avec n impair sont nuls, résultat essentiel que je cherchais.

Je suis moins à l'aise dans la définition des paramètres a, b, c, z de la fonction F(a,b,c,z)
En rappelant l'équation concernée:

pour n impair

Par rapport à cette équation a=-n est le degré (pourquoi le signe "-" ?), le facteur b= 1/2 est-il associé au terme (1/2) en puissance i, le facteur c=1 est-il associé au terme (-1) en puissance n-i ou au coefficient de i dans le binôme (n/i) et le facteur z=2 est-il associé au facteur (2i/i) du dernier terme binôme.
Ce sont les quelques précisions qui me manquent pour bien comprendre la solution et ce n'est pas si simple de les trouver dans la documentation qui est très fouillée.

Très cordialement

[JB2017]

Bonjour

Tout d'abord je te mets un lien où j'ai posé ta question et quelqu'un m'a donné une solution intéressante qui utilise des moyens élémentaires.
https://www.maths-forum.com/enigmes/....html#p1253207

Maintenant la série hypergéométrique standard classique est définie par:


Dans cette définition l'indice est n (pour toi l'indice est i. Malgré les apparences la somme est finie car (-n)_i=(-n)(-n+1).....(-n+i-1) et c'est nul dès que

Maintenant tu dis que ta question est liée à une certaine propriété d'un polynôme mais je ne sais pas lequel exactement. Peut être que la solution peut être obtenue par l'analyse de ce polynôme?

[ordage]

Bonjour

Tout d'abord je te mets un lien où j'ai posé ta question et quelqu'un m'a donné une solution intéressante qui utilise des moyens élémentaires.
https://www.maths-forum.com/enigmes/....html#p1253207

Maintenant la série hypergéométrique standard classique est définie par:


Dans cette définition l'indice est n (pour toi l'indice est i. Malgré les apparences la somme est finie car (-n)_i=(-n)(-n+1).....(-n+i-1) et c'est nul dès que

Maintenant tu dis que ta question est liée à une certaine propriété d'un polynôme mais je ne sais pas lequel exactement. Peut être que la solution peut être obtenue par l'analyse de ce polynôme?

Re-bonjour
Merci pour le lien.
Effectivement pour n fini, la série est finie (n+1) termes.

Effectivement il y a des forums mathématiques très intéressants. Souvent on trouve les mêmes personnes qui répondent aux questions sur plusieurs forum. Pour éviter des doublons, j'évite de poster la même question sur plusieurs.

La propriété du polynôme est contrainte par le problème physique qu'elle résout, dans le formalisme utilisé, qui manipule des arguments complexes (il doit être pair pour donner un résultat réel pour le paramètre calculé, qui est un angle).

Je vais étudier plus en détail les fonctions et séries hypergéométriques, car comme je vais avoir à expliquer le calcul, vaut mieux que je comprenne de quoi je parle.

Très cordialement

[mtheory]

Je vais étudier plus en détail les fonctions et séries hypergéométriques, car comme je vais avoir à expliquer le calcul, vaut mieux que je comprenne de quoi je parle.

Très cordialement

des mois en retard et une référence peut-être déjà trouvée mais c'est bien de savoir qu'elle est en ligne, c'est moins évident

https://archive.org/details/cu31924001549660