isométrie
Salut,
Quelqu'un saurait comment résoudre cet énoncé? On munit R^d de la métrique euclidienne habituelle. Si d=1, montrer que si f: R dans R est une isométrie, alors soit f(x) = x pour tout x appartenant à R, soit f possède un unique point fixe x0 appartenant à R et alors f(x) = -x + 2x0. Merci!
f(x) = x+1 est une isométrie de R mais ne vérifie pas la propriété qu'on te demande de démontrer
C'est R^n vectoriel, j'imagine. Si c'est bien le cas le contrexemple ne marche pas, dans R vectoriel, f(x) = x+1 n'est pas une isométrie (car f(0)=1, pas la même norme que 0).
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Heu ... vu l'énoncé, je n'ai pas l'impression qu'il s'agisse d'une isométrie vectorielle (*), d'ailleurs f(x) = -x + 2x0 n'est même pas linéaire.
Cordialement.
(*) mais les énoncés de E. mêlent vectoriel et affine dans une confusion totale.
Il n'est pas question de fonction linéaire, mais d'isométrie.
Dans R vectoriel, les seules isométries (continues) sont l'identité et l'inversion, et le résultat indiqué est correct avec x0=0.
Si c'était R affine, la propriété ne serait pas vérifiée, comme l'indique Tryss.
Mais c'est assez bizarre comme exo, d'accord.
Dernière modification par Amanuensis ; 14/10/2017 à 15h45.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Vois les autres question du volcan islandais.
ah tiens, pour moi une isométrie conserve les distances, pas les normes, soit d(fx,fy)=d(x,y) si d est la distance et f l'isométrie.Envoyé par Amanuensis
Bien sûr. D'autre part dans IR^1 considéré comme espace vectoriel euclidien, d(x,y) peut être prise comme |x-y|.pour moi une isométrie conserve les distances, pas les normes, soit d(fx,fy)=d(x,y) si d est la distance et f l'isométrie.
Donc on doit avoir
|f(x)-f(y)|=|x-y|.
Maintenant on pose f(x)=f(0)+h(x) pour x réel.
on doit avoir
|h(x)|=|x| pour tout x réel avec h(0)=0.
h(x) est continue sur IR donc en particulier sur IR+* et IR-*
Sur chacun des ces intervalle h(x)/x est continue et égale à +1 ou -1, par continuité h(x)=ex sur IR+* et h(x)=e'x sur IR-* avec e^2=e'^2=1.
D plud on doit avoir |f(-x)-f(x)|=|2x| pour tout x réel.
|e'+e|=2 donc e et e' sont de même signe.
donc f(x)=ex+f(0) avec e^2=1
Le résultat ce correspond pas à ce qui a été annoncé, j'ai du me tromper quelque part
Ben non !
C'est l'énoncé initial qui est faux !
Cordialement.
