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racine n-ième d el'unité



  1. #1
    erwan5032

    racine n-ième d el'unité


    ------

    bonjour, je suis confronté à un problème
    on me demande de démontrer que Z n'est pas une racine n-ième de l'unité tel que Z=(2+i)\(2-i)
    puis-je le faire par absurde c'est-à-dire montrer que Z^n est différent de 1
    Si non avez vous une idée s' il vous plait ?
    Merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Resartus

    Re : racine n-ième d el'unité

    Bonjour,

    Etes-vous en train d'étudier les propriétés des polynômes cyclotomiques? Et avez-vous vu le théorème qui dit que ces polynômes sont unitaires et à coefficients entiers?
    Si oui, il suffit de trouver l'équation du second degré dont z est solution, et de vérifier que ses coefficients ne répondent pas à ces conditions.

    Si vous n'avez pas vu ce théorème, il faut faire de l'arithmétique : Toujours en partant de l'équation dont z est solution, on peut montrer que, quel que soit n, z^n est un rationnel dont le dénominateur contient le facteur 5, alors que le numérateur de sa partie réelle n'est pas multiple de 5.
    Il y a peut-être des démonstrations plus simples, selon ce que vous avez déjà appris en cours....
    Dernière modification par Resartus ; 15/10/2017 à 09h37.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  4. #3
    erwan5032

    Re : racine n-ième d el'unité

    nous avons juste fait le cours sur les racine n-ième de l'unité et d'un nombre complexe
    avant cette question on ma demandé de montrer sur le module de Z est égale à 1 ce que j'ai fait

  5. #4
    Resartus

    Re : racine n-ième d el'unité

    Bonjour,
    Dans ce cas, je ne vois qu'une démonstration arithmétique.
    Sachant que z vaut 3/5+ 4i/5, il faut montrer que Z^n est de la forme an/5+bn.i/5 et que an ne peut pas être un multiple de 5.

    Cela ne demande aucune connaissance mathématique pointue, mais ce n'est pas très immédiat (il faut sans doute procéder par récurrence et utiliser les règles de calcul modulo 5).

    On pourrait aussi essayer de montrer que bn ne peut pas valoir 0, mais je ne suis pas sur que ce soit plus simple...
    Dernière modification par Resartus ; 15/10/2017 à 10h01.
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  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    erwan5032

    Re : racine n-ième d el'unité

    bonjour,
    alors par récurrence je peu x prendre ao=3\5
    et pour l'initialisation c'et ok (3\5 n'est pas un multiple de 5 avec k appartenant à Z)
    mais pour l'hérédité pour prouver que An+1 n'est pas un multiple de 5 avez-vous une idée s'ilvous plait ?

  8. #6
    Resartus

    Re : racine n-ième d el'unité

    Bonjour,
    Il faut travailler simultanément sur an et bn, et montrer que, modulo 5, si an est congru à 3 et bn congru à 4, alors an+1 est congru à 3 et bn+1 à 4

    Mais je ne sais pas si vous êtes censés connaître les calculs modulo (c'est seulement dans l'option Spe maths qu'on les voit en terminale).

    Peut-être d'autres membres du forum auront-ils des démonstrations différentes?
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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  10. #7
    erwan5032

    Re : racine n-ième d el'unité

    mais dans ce raisonnement je devrais trouve une contradiciton non
    et s'il vous plait quelle est le lien entre la racine n-ième et les congruences, de plus, nous n'avons pas les têtes de an et bn

  11. #8
    Resartus

    Re : racine n-ième d el'unité

    Bonjour,
    Obtenir les coefficients an+1 et bn+1 en fonction de an, bn, et a0, b0, c'est juste la multiplication des deux complexes z^n et z qui donne z^(n+1)

    Et le but est de montrer qu'avec ce z=a0/5+ib0/5, aucun z^n ne peut valoir 1, et donc que z ne peut pas être une racine nième de l'unité..

    Mais j'aurais dû vous demander au préalable quel est votre niveau scolaire et votre nationalité...
    Si vous êtes en Terminale S en France et que vous ne faites pas l'option spe maths, l'arithmétique modulaire n'est pas à votre programme, et vous ne pouvez pas utiliser cette démonstration

    Par contre, je ne vois pas comment obtenir le résultat autrement. J'espère que d'autres forumeurs pourront proposer quelque chose...
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  12. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : racine n-ième d el'unité


  13. #10
    azizovsky

    Re : racine n-ième d el'unité

    Bonjour, quelle sont les modules des racines n-ème de l'unité?:

    avec

  14. #11
    Resartus

    Re : racine n-ième d el'unité

    Bonjour,
    Oh, le module est bien 1, mais la difficulté c'est de montrer qu'il n'existe pas de n fini* t.q. z^n =1, ce qui est moins simple avec un bagage mathématique de début de prépa.

    *ou, dit autrement, que arctg(4/3) et pi sont incommensurables...
    Dernière modification par Resartus ; 15/10/2017 à 16h51.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  15. #12
    azizovsky

    Re : racine n-ième d el'unité

    Bonjour,mea culpa, désolé, je n'est pas calculé le module de Z qui est aussi =1 .
    Dernière modification par azizovsky ; 15/10/2017 à 17h10.

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  17. #13
    azizovsky

    Re : racine n-ième d el'unité

    si j'ai bien compris, on doit avoir avec , cà d, il n'existe pas de tel que

  18. #14
    azizovsky

    Re : racine n-ième d el'unité

    correction : càd est ce qu'il existe: tel que ?

  19. #15
    azizovsky

    Re : racine n-ième d el'unité

    Bonjour, J.H.Lamber a démontré que tg(a/b) se développe en fraction continue* càd tg(2kpi/n) n'est pas un rationnel ...

    * https://fr.wikipedia.org/wiki/Pi#D.C....C3.A9t.C3.A9s

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