Bonjour,
Soit B une matrice de Mn(C) vérifiant :avec b entier strictement positif
1/ Démontrer que les valeurs propres de B sont les racines bièmes de l'unité.
2/ Démontrer que B est diagonalisable dans Mn(C).
J'ai fait soit un polynôme P de C[X] :
P est un polynôme annulateur de la matrice B.
Soit P un polynôme annulateur d'un endomorphisme alors les valeurs propres de l'endomorphisme sont racines du polynômes et : Sp(u) c Racines (P)
C'est correct ?
Je dois juste résoudre
La solution de cette équation sont les racines b_ièmes de l'unité donc j'ai :Envoyé par mehdi_128
Bonjour,
Soit B une matrice de Mn(C) vérifiant :
1/ Démontrer que les valeurs propres de B sont les racines bièmes de l'unité.
2/ Démontrer que B est diagonalisable dans Mn(C).
J'ai fait soit un polynôme P de C[X] :
P est un polynôme annulateur de la matrice B.
Soit P un polynôme annulateur d'un endomorphisme alors les valeurs propres de l'endomorphisme sont racines du polynômes et : Sp(u) c \: Racines (P)
C'est correct ?
Je dois juste résoudre
Comment montrer que le spectre de B est égal à ces solutions ? J'ai juste l'inclusion
Tu confonds b et n !!
Il est facile de voir, en en considérant une, que les valeurs propres de B sont des racines b-ièmes de l'unité. Ensuite, difficile de continuer avec ton énoncé, car si B²= In, et a des valeurs propres 1 et -1, on ne voit pas pourquoi B4=In (qui est alors vrai) donnerait des racines quatrième, donc i et -i, qui à priori ne sont pas valeurs propres de B. D'ailleurs, si B²= In, alors B= In ou B= -In .
Il y a aussi un problème si b est supérieur à n.
Tu es sûr de ton énoncé ? C'est "les racines b-ièmes .." pas "des .." ?
Cordialement.
NB : Pourquoi copier ton propre message, il est juste au-dessus ?
En fait b est l'ordre de la matrice le premier entier naturel k>0 vérifiant B^k = In
C'est bien "des racines de l'unité" ça change quoi ?
C'est par rapport à la propriété : "Soit P un polynôme annulateur de u. Alors les valeurs propres de u sont DES racines de P" ?
"Soit P un polynôme annulateur d'un endomorphisme alors les valeurs propres de l'endomorphisme sont racines du polynômes et : Sp(u) c Racines (P)" Oui puisque L est valeur propre d' un endomorphisme u ssi L est racine du polynôme minimal de u, et P=M.Q où M est le polynome minimal de u, Qun polynome.
A mon avis il est plus simple de faire la question 2 avant la 1 !
Bonne soirée
Mehdi_128,
la différence entre "les" et "des" est très importante (*). Les racines n-ièmes de l'unité, sont n nombres différents; des racines n-ièmes de l'unité sont certaines d'entre elles, pas nécessairement toutes. "Les" est un article défini, qui parle de choses parfaitement précises. De toutes celles qui sont concernées. Pas "des", article indéfini.
Autre chose : "En fait b est l'ordre de la matrice" Et tu ne le dis pas tout de suite !! C'est sans doute sans importance ! Non ?
Cordialement.
(*) on a la même différence au singulier entre "le" et "un"
J'aurais du le dire dès le départ que b est l'ordre de la matrice !
Pour la question 2 c'est : les racines bièmes sont distinctes et il y en a n donc P peut se factoriser sous la forme :
Mais je me demande comment être sûr que la multiplicité des racines vaut 1 ? Pour ensuite montrer que P est scindé à racines simples et donc B diagonalisable dans Mn(C) ...
Ou peut être suffisait t-il de calculer P'(X) et de voir si P'(w^k)=0 pour montrer que la multiplicité de chaque racine est 1 ?
les racines b-ièmes il y' en a b normalement, n c' est la taille de la matrice B. P est à racines simples vu sa forme factorisée.
Oui en effet je mélange n et b !
Les racines sont forcément de multiplicité 1 car il y en a n sinon on aurait un degré supérieur à n et on retomberait pas sur
c' est plutôt b racines non? Du coup, on peut en déduire que B est diagonalisable dans Mn(C) !
Bonne soirée
Oui b racines et degré de P(X) est b donc les racines sont des racines simples !
Merci
