définition "coordinate-free" de l'espace-temps de Minkowski

[mach3]

Bonsoir,

J'essaie, pour l' "esthétique" de trouver une définition de l'espace-temps de Minkowski sans utiliser la notion de coordonnées. Concrètement, une définition qui impose que l'orthogonal d'un vecteur de genre temps ne contient que du genre espace, que l'orthogonal d'un vecteur de genre nul ne contient que genre espace et du genre nul et enfin que l'orthogonal d'un vecteur de genre espace contient les trois genre, ce qui en 4D impose un découpage en 3+1. Cela se défini évidemment de façon triviale dans le langage des coordonnées en écrivant .

Je fais la proposition suivante :

Soit u et v deux vecteurs différents de 0, appartenant à un espace vectoriel de dimension 4 muni d'une forme bilinéaire symétrique indéfini ".", alors

(j'ai pris le genre temps négatif)

Est-ce suffisant pour imposer que la signature de la métrique est (-+++)?

m@ch3
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[Médiat]

Bonjour,

Si , la prémisse est vérifiée, pas la conclusion (par définition de la bilinéarité).

[mach3]

Bonjour,

Si , la prémisse est vérifiée, pas la conclusion (par définition de la bilinéarité).

c'est pour cela que j'ai précisé que v devait être différent de 0 :

Soit u et v deux vecteurs différents de 0

m@ch3

[Médiat]

Oooops, j'ai l'habitude de lire les formules mathématiques comme un tout exprimant tout ce qu'il y a à exprimer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

@mach3
Je suppose que dans ta proposition c'est " quelque soit u et v".
Dans ce cas et pour ce qu'en comprends, ce qu'il faut montrer, c'est que dans la signature (-, . , . , . ) il n'y a pas au moins deux signe "-", c'est cela ?
Supposons que ce soit le cas, on peut construire deux vecteurs u et v tels que u^2<0 et v^2<0 avec u.v=0 ce qui prouverait ta proposition.

[mach3]

oui, si on trouve deux vecteurs de genre temps orthogonaux, la signature de la métrique va contenir au moins deux signes -, alors qu'on veut qu'elle n'en contiennent qu'un.

Au début j'avais posé simplement ça :

(u et v différents de 0)

mais je me suis rendu compte que ça ne couvrait pas l'interdiction pour un genre nul d'être orthogonal à un genre temps (ce qui se voit rapidement dans le langage des coordonnées), alors j'ai posé ça :

(u et v différents de 0)

mais du coup c'est incohérent pour un cas du genre u=v et u^2=0 (un vecteur de genre nul est orthogonal à lui même), il faudrait ajouter une condition de non colinéarité de u et v pour que ce soit vrai. Finalement j'ai coupé la poire en deux en posant :

(u et v différents de 0)

et il me semble que ça fonctionne, mais n'étant pas assez aiguisé, je ne suis pas sûr de moi. Et puis, il y a peut-être plus "joli".

m@ch3

[invitedd63ac7a]

oui, si on trouve deux vecteurs de genre temps orthogonaux, la signature de la métrique va contenir au moins deux signes -, alors qu'on veut qu'elle n'en contiennent qu'un.

u(1,0,0,0) et v(0,1,0,0), si on suppose une forme quadratique de signature (-,-,.,.) rendra fausse la proposition.


Une chose me chiffonne ici, mais peut-être que je me trompe.

Il me semble qu'il faudrait montrer en plus que cette condition est vraie, au moins pour une forme quadratique de signature (-,+,+,+)
(u et v différents de 0)
Non ?

[mach3]

Pas de difficulté avec l'approche coordonnée. Si j'ai u(k,0,0,0) , et v(a,b,c,d) tel que (v peut donc être n'importe quel vecteur de genre nul), alors . Comme tout vecteur de genre temps peut se ramener à (k,0,0,0) avec une transformation de Lorentz appropriée, ça roule : il n'y a pas de genre nul dans l'orthogonal d'un vecteur de genre temps.

m@ch3

[invite9dc7b526]

Une forme quadratique définie positive vérifie le critère de mach3, qui est donc insuffisant.

[mach3]

Une forme quadratique définie positive vérifie le critère de mach3, qui est donc insuffisant.

ben j'avais quand même précisé :

Soit u et v deux vecteurs différents de 0, appartenant à un espace vectoriel de dimension 4 muni d'une forme bilinéaire symétrique indéfinie ".", alors

(j'ai pris le genre temps négatif)

Est-ce suffisant pour imposer que la signature de la métrique est (-+++)?

sinon, oui, dans un espace euclidien (forme définie positive) il n'y a pas de genre temps, alors forcément il n'est pas question d'orthogonalité entre vecteurs de genre temps, effectivement.

Bon j'ai surement mal posé le problème. J'essaie de reposer cela plus proprement :

Soit un espace vectoriel à 4 dimension muni d'une forme bilinéaire symétrique indéfinie "." tel que :



Est-ce l'espace-temps de Minkowski de signature (-+++)

m@ch3

[Paradigm]

Bonjour à tous,

Bonsoir,

J'essaie, pour l' "esthétique" de trouver une définition de l'espace-temps de Minkowski sans utiliser la notion de coordonnées.

L'espace-temps de Minkowski se définit à partir de la notion de métrique qui peut s'exprimer à l'aide d'un tenseur métrique indépendamment de toutes coordonnées non ?

Éric Gourgoulhon propose une représentation géométrique : Classification of Unit Vectors

Cordialement,

[Amanuensis]

Je ne comprends pas bien la question non plus, puisque «muni d'une forme métrique de signature (1,3)» est pour moi aussi «coordinate-free».

Et il y a des approches pas du type proposé, comme espace vectoriel de dimension 4 muni d'une forme bilinéaire symétrique telle que l'ensemble {v non nul, v²>0} est non connexe. (Propriété qui a le bon goût d'avoir une signification physique importante.)

Quelles sont les règles du jeu?

[Amanuensis]

Corrigendum:

muni d'une forme bilinéaire symétrique telle que

«bilinéaire symétrique non dégénérée telle que»

(Car la forme dt² a la propriété, par exemple. )

[mach3]

L'espace-temps de Minkowski se définit à partir de la notion de métrique qui peut s'exprimer à l'aide d'un tenseur métrique indépendamment de toutes coordonnées non ?

oui, bien sûr, mais dans les présentations usuelles, ce tenseur est defini via des coordonnées (voire même via une représentation en matrice 4x4 diagonale), et ses propriétés exprimées via des coordonnées. Et on sait que ça ne dépend du système de coordonnées parce que les changements de coordonnées laissent cela invariant. Ma question est sur comment exprimer ou definir les propriétés de ce tenseur SANS utiliser de coordonnées?

En tout cas, merci pour la ref, c'est très intéressant.

Je ne comprends pas bien la question non plus, puisque «muni d'une forme métrique de signature (1,3)» est pour moi aussi «coordinate-free».

oui, mais comment on exprime formellement "une forme métrique de signature (1,3)" en restant coordinate-free.

Et il y a des approches pas du type proposé, comme espace vectoriel de dimension 4 muni d'une forme bilinéaire symétrique telle que l'ensemble {v non nul, v²>0} est non connexe. (Propriété qui a le bon goût d'avoir une signification physique importante.)

intéressant. Une ref?

Quelles sont les règles du jeu?

effectivement, c'est plutôt un jeu... L'idée est de définir l'espace-temps de Minkowski de manière minimaliste, sans faire appel aux coordonnées et même, si possible, sans faire appel à des vecteurs de base. L'axe que j'ai choisi est sur la définition de la forme métrique.

m@ch3

[Amanuensis]

oui, mais comment on exprime formellement "une forme métrique de signature (1,3)" en restant coordinate-free.

Trouver quatre vecteurs indépendants et de métriques de signes +--- ou -+++ n'est pas parler de coordonnées, si?

intéressant. Une ref?

Non. Mais cela se vérifie rapidement: il n'y a que trois signatures possibles, euclidienne, minkowskienne ou ++--.

effectivement, c'est plutôt un jeu... L'idée est de définir l'espace-temps de Minkowski de manière minimaliste, sans faire appel aux coordonnées et même, si possible, sans faire appel à des vecteurs de base. L'axe que j'ai choisi est sur la définition de la forme métrique.

Si on est obligé de postuler 4D et une forme métrique symétrique non dégénérée, il n'y a plus qu'à préciser la signature. 1,7 bits...

[Paradigm]

oui, bien sûr, mais dans les présentations usuelles, ce tenseur est defini via des coordonnées (voire même via une représentation en matrice 4x4 diagonale), et ses propriétés exprimées via des coordonnées

Cela peut s'exprimer de manière générique pour toute base et non pour une base en particulier non ? !

http://web.mit.edu/edbert/GR/gr1.pdf
At this stage it is useful to introduce a classification of vectors and one-forms drawn from special relativity with its Minkowski metric η_µν . Recall that a vector A = A^µe_µ is called spacelike, timelike or null according to whether A · A = η_µνA^µA^ν is positive, negative or zero, respectively.

On peut revenir à une expression du tenseur métrique η en tant que forme bilinéaire (produit tensoriel de l'espace dual de l'espace vectoriel 4D E) E x E ---> R : un mapping [η_µνe_µ ⊗ e _ν] (U, U) pour réaliser la classification.

Cordialement,

[mach3]

Bonjour,

histoire de clôturer, est-ce qu'il est possible d'avoir une réponse définitive là-dessus :

Soit un espace vectoriel à 4 dimension muni d'une forme bilinéaire symétrique indéfinie "." tel que :



Est-ce l'espace-temps de Minkowski de signature (-+++)

merci

m@ch3

[invite9dc7b526]

non, il se pourrait que u.u>=0 pour tout u et l'implication serait encore vérifiée.

[mach3]

il se pourrait que u.u>=0 pour tout u

c'est en contradiction avec le fait que la forme "." est indéfinie non?

Soit un espace vectoriel à 4 dimension muni d'une forme bilinéaire symétrique indéfinie "." tel que [...]

Indéfini signifie justement que pour tout u, le signe de u.u peut être n'importe quoi. Si "il se pourrait que u.u>=0 pour tout u", la forme serait définie semi-positive, pas indéfinie.

m@ch3

[invite9dc7b526]

c'est pas "défini semi-positif" c'est "semi-défini positif" (donc indéfini si tu veux mais je ne crois pas que ce soit un terme usuel).

[mach3]

c'est pas "défini semi-positif" c'est "semi-défini positif"

pardon, j'ai inversé la place du semi...

donc indéfini si tu veux mais je ne crois pas que ce soit un terme usuel

ben je le trouve un peu partout en tout cas, mais bon, soit, je réécris ma proposition, pour qu'elle soit encore plus claire :

Soit un espace vectoriel E à 4 dimension muni d'une forme bilinéaire symétrique "." tel que :
, , ,


Est-ce l'espace-temps de Minkowski de signature (-+++)?

m@ch3

[invite9dc7b526]

Encore un petit effort... la condition sur l'existence d'un y tel que yy=0 est inutile puisque 0 vérifie toujours 00=0 Peut-être voulais-tu dire qu'il existe un y non nul tel que yy=0 ?

mais n'est-il pas plus simple de dire qu'il existe une base dans laquelle la matrice de la forme quadratique est celle qu'on sait ?

[mach3]

Encore un petit effort... la condition sur l'existence d'un y tel que yy=0 est inutile puisque 0 vérifie toujours 00=0 Peut-être voulais-tu dire qu'il existe un y non nul tel que yy=0 ?

oui, c'est vrai que si y=0, y.y est automatiquement 0. Ca se limite donc aux vecteurs non nuls... Cela étant dit, au feeling, je me demande si l'existence du genre nul n'est pas une conséquence directe du fait qu'il y ait des vecteurs genre temps et genre espace. Genre si on postule qu'il y a au moins un vecteur x tel que x²<0 et au moins un vecteur z tel que z²>0, on pourrait forcément construire une combinaison linéaire de x et z tel que son carré soit nul? la précision n'est alors peut-être pas utile? Enfin bon, tout ça c'était pour écrire "indéfinie" plus formellement.

mais n'est-il pas plus simple de dire qu'il existe une base dans laquelle la matrice de la forme quadratique est celle qu'on sait ?

Evidemment que oui, mais là n'est pas mon but.

m@ch3