Calculer l'inverse d'une matrice par la matrice compagnon

[inviteafc2d3a1]

Bonjour à tous,

Pour mon examen de math, j'ai besoin de savoir calculer l'inverse d'une matrice par la matrice compagnon.
C'est à dire que lorsque nous avons une matrice, nous devons la transformer en matrice identité. Et toutes les opérations que nous avons fait pour la mettre en matrice identité, nous devons les refaire sur cette matrice identité pour avoir ainsi l'inverse de notre matrice de départ.

J'ai actuellement la matrice:

( -3 2 0 )
( -2 4 -2 )
( 1 -1 5 )

Et je dois calculer son inverse. Le problème, c'est que je n'arrive pas à la transformer en la matrice identité.
La matrice identité, c'est:

( 1 0 0 )
( 0 1 0 )
( 0 0 1 )

Je me perds souvent, car dès que j'obtiens un 0 à la bonne place, les autres colonnes n'ont pas le bon numéro, et donc quand je veux transformer les autres, celui que j'avais bon au départ n'est plus bon.

Je voulais savoir si vous avez une astuce ou une idée de comment je peux transformer ma matrice de départ en matrice identité...Je ne veux pas que vous me donniez la réponse, cela ne me servira à rien le jour de l'examen, j'aimerais juste une méthode qui pourrait me simplifier la vie. Si vous avez des astuces pour voir directement les opérations qu'il faut faire.

Merci à vous,
Febreen.
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[invitedd63ac7a]

Voici le principe de la méthode, on écrit l'une à côté de l'autre la matrice à inverser, disons A, et à coté la matrice unité B= Id.
On a le droit aux opérations suivantes :
Ajouter ou soustraire un multiple d'une ligne à une autre dans A et on fait la même chose dans B.
on obtient deux nouvelles matrices A et B.
Multiplier une ligne dans A par un nombre, faire la même chose dans B.
on obtient deux nouvelles matrices A et B.
on recommence les opérations précédentes jusqu'à ce que la matrice A soit l'identité, à ce moment la matrice B est l'inverse de A.
Exemple avec une matrice 2x2
A B
(1 2) (1 0)
(5 3) (0 1)

(1 2) (1 0)
(0 -7) (-5 1)

(1 2) (1 0)
(0 1) (5/7 -1/7)

(1 0) (-3/7 2/7)
(0 1) (5/7 -1/7)


Tout ceci se justifie et on peut faire la même chose avec les colonnes.
Une méthode cousine mais plus sophistiquée que le pivot de Gauss.

[invitedd63ac7a]

Pour une matrice 3x3 c'est un peu plus long, l'idée, pas forcément bonne, inspirée du pivot de Gauss consiste à mettre des 0 sur la première colonne sauf à conserver un 1 sur le ligne du haut, ensuite on fait la même chose sur la deuxième colonne en conservant un 1 sur la deuxième ligne etc.
Mais il faut bien regarder car parfois on peut aller plus vite.

[inviteafc2d3a1]

Bonjour à vous et merci de votre réponse.

C'est justement cela que j'ai du mal. Car lorsque j'arrive à mettre des zéros dans une sur les deux colonnes nécessaires ( 2ème et 3ème colonne pour la 1ère ligne par exemple).
Et bien je n'arrive pas à mettre le 2ème 0 car je perds le 1er.

Par exemple,

Dans ma matrice:

( -3 2 0 )
( -2 4 -2 )
( 1 -1 5 )

Si je veux transformer le 2 de la 1ère ligne en 0, je fais L1 <= L1 + 2L3.
J'obtiens -1 0 10.

J'arrive à transformer le 2 de la 2ème colonne en 0, mais le 0 de la 3ème colonne disparaît. Et donc, je n'y arrive pas. Ca me fait penser à un rubik cube finalement, chose que je n'ai jamais réussi non plus. lol.

Ensuite, j'ai vu que vous parlez que l'on pouvait travailler sur les colonnes, mais nous ne pouvons pas...Notre professeur nous a dit de travailler uniquement sur les lignes, qu'il n'y a que les étudiants en option "Mathématique" qui verront comment travailler sur les colonnes bien plus tard.

Encore merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

Ensuite, j'ai vu que vous parlez que l'on pouvait travailler sur les colonnes, mais nous ne pouvons pas...Notre professeur nous a dit de travailler uniquement sur les lignes, qu'il n'y a que les étudiants en option

Oui, mais il ne faut pas mélanger les deux méthodes. Fais ce que t'a dit ton professeur.

C'est justement cela que j'ai du mal.

Il faut travailler méthodiquement.
On va mettre des 0 sur la première colonne sauf sur la 1ere ligne de cette colonne où on met un 1:
L1:=L1+4L1
L2:=L2+2L3
L3:=L3-L1
Regarde, maintenant ta première colonne est prête.
Tu appliques la même méthode sur la deuxième colonne. Tu mets des zéros partout sauf sur la deuxième ligne de cette colonne. Etc.

[inviteafc2d3a1]

?? Je ne comprends pas ce que vous voulez faire.
J'ai appliqué les opérations que vous m'avez dite, et ma colonne est loin d'être prête.

J'ai appliqué ceci:

L1:=L1+4L1
L2:=L2+2L3
L3:=L3-L1

J'obtiens alors:

( -17 10 0)
( 0 2 8)
( 4 -3 0)

Vous dites que la 1ère colonne est censé être prête. J'suis avoir avoir:

1
0
0

Et je suis loin d'avoir cela.

[gg0]

Il y a manifestement une erreur dans "L1:=L1+4L1". Alors que L1:=L1+4L3 met à 1 le premier coefficient.

Cordialement.

[invitedd63ac7a]

Plus rapide que l'éclair, merci gg0