Théorème de Dini, preuve avec des fermés

[Edvart]

Bonjour,

J'ai trouvé dans un petit livre de topologie une preuve du Théorème de Dini faisant appel à des fermés et non pas des ouverts. Je n'ai pas compris cette démonstration car je n'arrive pas à comprendre à quel moment elle utilise la compacité de l'ensemble étudié...

Hypothèses :
un espace topoologique compact,
une suite croissante de fonctions continues qui converge simplement vers continue

On montre alors que la suite converge uniformément vers sur .

Preuve :
Soit
On étudie l'ensemble
Premièrement les sont l'image réciproque d'un fermé de par la fonction continue donc fermé.
De plus, la suite des est décroissante, donc une suite décroissante de fermés d'intersection vide (pour fixé au début du raisonnement bien sûr).
Donc il existe un rang après lequel pour tout ,
Donc pour tout rang après ,

D'où la convergence uniforme.

Mais quand a été utilisée la compacité de X ?

Merci d'avance pour votre aide!
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[minushabens]

Elle intervient par le fait qu'une suite décroissante de compacts dont aucun n'est vide a une intersection non vide.

[Edvart]

Je pensais effectivement à ça mais là, la convergence simple des implique que les ne sont pas tous non-vides non? Du coup leur intersection pourrait très bien être vide, et c'est le cas ici pour donné

[gg0]

Justement,

c'est l'application de cette règle, contraposée, qui permet de conclure que certains sont vides. Ce n'est pas la convergence simple(prends l'exemple des sur [0;1[. Il y a convergence simple, mais par exemple n'est jamais vide, même si l'intersection des est vide.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Edvart]

Merci beaucoup pour ta réponse!