Application injective préservant la compacité est continue

[invited1ed38da]

Bonsoir,

Je suis coincé sur un exercice qui m'a l'air simple, mais je me suis lancé dans ce qui me semble être un cul-de-sac. Je dois montrer que si est une application injective qui envoie tout compact de sur un compact de , alors elle est continue sur .

J'ai décidé de partir avec la caractérisation séquentielle de la continuité, en me souvenant du fait que :
Soit une suite d'éléments de qui converge vers ,
est un compact.
Donc est aussi un compact, et

Maintenant j'aimerais me servir de l'injectivité de et de la compacité de pour montrer que la suite converge bien vers , mais je n'arrive vraiment pas à conclure! Est-ce que je me suis donné les éléments nécessaires?

Merci d'avance de votre aide
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[invite6710ed20]

Bonjour
J'ai regardé ton problème et je n'y arrive pas. On a envie d'y croire mais es-tu sûr de la conclusion?

En essayant un raisonnement par l'absurde je bloque aussi:

Si on suppose que f(x_n) ne cv pas vers f(x) .................. ne me permet pas de continuer

[Seirios]

Bonjour,

Posons . Si a une sous-suite convergeant vers , alors il en est de même pour , sauf que ce n'est pas possible puisque l'ensemble des points d'accumulation de cette suite doit être inclus dans par compacité. Autrement dit, est le seul point d'accumulation possible.

[invited1ed38da]

Salut,

Merci pour ton aide! Tout ce que j'arrive à faire c'est :
Puisque B est compact, de toute suite d'éléments de B (en particulier y_n = f(x_n) ) alors on peut en extraire une sous-suite qui converge dans B
Grâce à l'injectivité de f, on peut montrer par l'absurde que cette sous-suite ne peut que converger vers f(x) (si elle converge vers un autre élément de B, elle converge vers un certain f(x_n0) et est constante à partir d'un certain rang, pas possible à cause de l'injectivité)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1ed38da]

Désolé pour le doublon, mais j'ai posté en même temps que Seirios et du coup je n'ai pas eu le temps de lire sa réponse et d'éditer mon message dans les 5 minutes et je ne peux même pas éditer pour le remercier... J'espère que ça excusera le doublon sinon je comprends pas grave.

Merci pour ton aide Seirios, si j'ai bien compris : puisque tous les B_k sont compacts on en conclus que la suite f(x_n) n>k admet une sous-suite qui converge dans B_k, et donc le seul point d'accumulation possible de la suite f(x_n) est le point f(x).
Par contre, j'ai l'impression que c'est comme dire : "si la suite f(x_n) converge vers une valeur, ça ne peut être que vers f(x)", mais si c'est bien ça qu'on a dit, a-t-on forcément la convergence de f(x_n)?

[invite23cdddab]

Soit epsilon > 0. Comme f(x) est le seul point d'accumulation de la suite f(x_n), tout les points de la suite à distance >= epsilon de f(x) sont isolés. Donc il existe pour chacun de ces points y_n, une boule ouverte de centre y_n et de rayon r_n > 0 qui ne contienne que y_n. On ajoute la boule ouverte de centre f(x) et de rayon epsilon, et on a un recouvrement ouvert de B. Comme B compact, on peut en extraire un sous-recouvrement fini, ce qui implique que les y_n sont en nombre fini

[invited1ed38da]

Ok ça marche pour la convergence du coup.

Merci à tous pour votre aide! Cette preuve avec les B_k ressemble beaucoup à compacité Borel-Lebesgue implique compacité Bolzano-Weierstrass, je suis déçu de ne pas y avoir pensé je pensais l'avoir intégré. Bonne journée!