Sommes à simplifier (MPSI)

[invite5eadf00c]

Bonsoir à tous,

Je dois simplifier les deux sommes suivantes :

1. S = somme de k=0 à n-1 des ((k parmi n)*(w^k))
2. T = (1-w) * somme de k=0 à n-1 des ((k+1)(w^k))

En considérant w = exp(i2pi/n) , une racine n-ième de l'unité


Pour la première, j'ai simplifié la somme en sortant le dernier terme afin d'avoir une somme de k allant de 0 à n,
J'ai ensuite utilisé la formule du binôme de Newton,
J'ai ainsi obtenu :

S = ((w+1)^n)-(w^n) , soit :
S = ((exp(i2pi/n)+1)^n) - exp(i2pi)

Je ne sais pas si cette simplification est suffisante, j'ai également trouvé une expression un peu plus trigo :
S = (2^n) * exp(ipi) * (cos(pi/n)^n) - exp(i2pi)

Quelle expression choisir ?


Pour la deuxième somme, après de multiples essais, je ne vois toujours pas du tout comment procéder,
Pourrais-je avoir quelques tuyaux afin de me lancer ?


Bonne soirée
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[invite23cdddab]

Pour la 2)

Si tu notes , alors , et tu peux voir f comme la dérivée d'une certaine fonction , où

F(w) étant alors facile à calculer, on peut en déduire f(w)

[invite5eadf00c]

J'ai pu voir que pour calculer F(w), il fallait avant tout calculer Ak(w), mais je ne parviens pas à trouver un résultat "simple" pour cette primitive,
Je me suis sûrement trompée dans mes calculs mais je ne sais pas où

J'ai trouvé :

Ak(w) = ((k+1)n * (w^k)) / i2pi

Ce qui rend le calcul de F(w) encore plus compliqué à effectuer

[gg0]

Tu ne sais pas trouver une primitive de (k+1)x^k ? C'est du niveau débutant en primitives ! Essaie pour k=1, k=2, k=3 ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]