[STAT] Estimation d'une donnée (Expérience de Galton)

[invitefd4e7c09]

Bonjour,
Je recherche une précision concernant l'expérience de Galton racontée sur wikipédia comme suit :

[...]une anecdote de 1906 issue du statisticien britannique Francis Galton. Galton — supposant au départ l'évaluation des experts plus fiable que celle de la foule — se rend à un marché de bétail où a lieu un concours. Il s'agit de deviner le poids d'un bœuf après qu'il a été abattu et « débité ». Galton note plusieurs centaines de paris (787), et découvre que leur médiane est 1197 livres alors que le poids réel du bœuf est 1198 livres, soit dans ce cas particulier une précision de 10^-3, qui le surprend.

Il s'agit ici d'utiliser la médiane pour faire l'estimation (on est d'accord) sauf que sur ce même wikipédia, on peut lire aussi :

Francis Galton, un eugéniste, voulait initialement prouver que groupe du "bas-peuple", même en grand effectif, ne pouvait même pas réaliser une tache aussi simple qu'estimer le poids d'un bœuf dans une foire agricole. Au cas par cas, ce fut effectivement mauvais, mais en faisant la moyenne des estimation, on atteint un résultat qui est qualifié d'excellent.
Cela s'explique par la formule suivante : Erreur Du Groupe = Erreur Individuelle Moyenne - Diversité Des Prédictions
Francis Galton fut donc surpris et pris au dépourvu par ces résultats.

Il s'agit ici en revanche de la moyenne (et on ne précise pas laquelle arithmétique, géométrique, etc...)

Quelle est donc finalement la méthode permettant d'approcher au plus près le poids d'un bœuf (par exemple) à partir des estimations de la foule ?
-----

[invite9dc7b526]

Quelle est donc finalement la méthode permettant d'approcher au plus près le poids d'un bœuf (par exemple) à partir des estimations de la foule ?

on ne peut pas répondre à cette question en s'en tenant aux raisonnements mathématiques. Il faudrait faire une étude "de terrain" pour avoir une idée de la façon qu'ont les gens d'estimer le poids d'une bête morte. Il est très possible que la distribution des erreurs soit dissymétrique par exemple, auquel cas la moyenne et la médiane seront différentes même sur un grand échantillon.

[invitefd4e7c09]

En considérant que la distribution des erreurs est symétrique (les erreurs des uns "compensent" celles des autres), quelle moyenne ou autre mesure doit on prendre ?

[invite9dc7b526]

La moyenne empirique et la médiane empirique convergent en 1/sqrt(n) donc on ne peut pas dire que l'une est meilleure que l'autre de façon générale, il faut voir selon la distribution théorique. Pour la loi normale, la moyenne est un peu meilleure que la médiane.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd4e7c09]

Pour la loi normale, il me semble avoir lu (mais on ne parle peut être pas de la même chose) que la moyenne, la médiane et le mode sont précisément la même chose (il n'y aurait donc pas de meilleur dans ce cas).

[invite9dc7b526]

La moyenne la médiane et le mode "vrais" sont identiques dans la loi normale mais je parlais des estimateurs dits "empiriques". La moyenne empirique converge un peu plus vite vers la vraie moyenne (et donc vers la vraie médiane puisqu'elles sont identiques) que la médiane empirique.

[invitefd4e7c09]

D'accord, merci pour toutes ces précisions.
Pour revenir sur l'expérience de Galton, on ne sait pas comment il a choisi son échantillon dans la foule (et donc si la distribution des erreurs est symétrique ou pas ?) et on ne sait pas vraiment s'il a choisi la médiane ou la moyenne car l'une ou l'autre s'approchait davantage du véritable poids de la bête évidée ...
Si je parviens à mettre la main sur son papier de l'époque (ce qui est peu probable car ça date), j'éclaircirais les choses.
Une expérience similaire à été faite il y a quelques années et un article disponible sur le site de l'école polytechnique de Lausanne la relate :

L’équipe du laboratoire d’intelligence artificielle de l’EPFL a renouvelé l’expérience de Galton, lors du dernier salon des technologies (STIL). Plus facile à transporter qu’un bovidé c’est un bocal rempli de M&M’s qui a été soumis à la sagacité des visiteurs. «En faisant une simple moyenne harmonique des 180 estimations récoltées, nous avons obtenu un résultat d’une précision de 97% quant au nombre de friandises présentes et nous atteignons même les 98.9% avec une moyenne géométrique», rapporte le post-doctorant Florent Garcin, responsable du projet, qu’il développe desormais au sein de la start-up Umanytics.

Bon, on sort la moyenne Harmonique sur ce coup là et puis non on va plutôt utiliser la moyenne Géométrique car elle colle mieux au nombre réel de M&Ms qu'il fallait estimer.
La encore, il ne s'agit pas d'un document purement scientifique ou le protocole est expliqué en détails et du coup ... on n'en sait pas plus ni sur la distribution des erreurs ni même sur la moyenne qu'on choisi d'utiliser avant même de réaliser l'expérience.
Si vous connaissez un lien vers une publication scientifique (en bonne et due forme) qui traite du sujet, je suis preneur et la lierai attentivement car je reste un peu sur ma faim hélas.