Corps des fractions

[invitee223f61b]

Bonjour !

Voici une petite question d'algèbre que je me pose : existe t-il un anneau dont le corps des fractions serait ?

Merci
-----

[gg0]

Bonjour.

A part lui-même, je ne vois pas.

Cordialement.

[Seirios]

Bonjour,

Et pourquoi pas lui-même ? De manière générale, si tu prends un corps , alors l'application définit un isomorphisme de vers son corps des fractions.

[invitee223f61b]

Merci de votre réponse, mais je souhaite savoir si un tel anneau différent de existe. J'ai réfléchi sur un brouillon, mais je n'arrive pas à me faire une idée...
Ps : savoir si un anneau n'étant pas un corps et qui a cette propriété existe !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

La construction du corps des fraction d'un anneau consiste à considérer le quotient de par la relation d'équivalence définie par :


Si est un corps :

Ce qui montre l'existence de l'isomorphisme entre un corps et son corps des fractions (je n'ai fait qu'expliciter ce que disait Serios)

Rien ne vous interdit de donner une autre définition (en changeant la relation d'équivalence par exemple)

[Seirios]

Une discussion reliée : When is a field a nontrivial field of fractions?

[Resartus]

Bonjour,
Seiros : je ne suis pas sûr, mais il me semble que la méthode préconisée dans ton lien capote pour trouver un anneau différent de R.

Il est suggéré de prendre une base de R sur Q (jusque là, cela va, même si on est incapable d'exhiber une telle base).

Mais ensuite, si on prend la fermeture de cette base, j'ai bien l'impression qu'on retombe ainsi sur la totalité de R.
(en tout cas l'argument des dimensions qui est utilisé pour montrer que ce n'est pas l'ensemble total ne peut pas marcher dans ce cas)...

[Resartus]

Re,
OK, je n'avais pas lu la discussion du lien jusqu'au bout. Il y a un autre argument qui marche :

Q-Z n'est pas contenu dans l'anneau des "entiers" obtenus par fermeture intégrale de la base de R sur Q

On a donc bien créé un anneau plus petit que R, dont le corps des fractions est R.....

[AncMath]

L'argument de dimension fonctionne également, comme la dimension de la clôture intégrale de est infinie par Cohen-Seidenberg, elle ne peut etre égale à qui est de dimension nulle, c'est un corps.

[invite9dc7b526]

Tiens c'est une question que je me posais depuis longtemps mais je n'avais pas trouvé la réponse, bien que j'aie aussi pensé au Z-module construit sur une Q-base de R (mais pas réussi à prouver que ça pouvait être un anneau par un choix judicieux de ladite base). En fait je me posais la question d'un anneau minimal dont R serait le corps des fractions.

[invitee223f61b]

Merci pour vos réponses !

Par rapport à Q-Z, j'aimerais plutôt un anneau qui ne soit pas un corps ! De plus, le corps des fractions de Q-Z est il vraiment R ? A priori un anneau et son corps des fractions on même cardinal, non ?

[Resartus]

Bonjour,

On aurait dû vous demander votre niveau d'étude d'abord, car vous n'avez pas compris nos explications....Je vais le refaire plus lentement.

Si vous savez ce qu'est un espace vectoriel, il est facile de voir en testant les axiomes de définition que R est un espace vectoriel sur le corps Q.

On peut donc trouver une base de cet espace vectoriel (NB: elle est évidemment infinie et TRES compliquée, et en plus il faut accepter l'axiome du choix pour prouver son existence, mais bon....)

On prend maintenant toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs de base, mais avec des coefficients ENTIERS. Cet ensemble
est un anneau, qu'on appelle la fermeture intégrale de cet ensemble de vecteurs, mais ce n'est pas un corps, et comme preuve, il contient bien Z mais il ne contient pas les éléments de Q-Z (mais il y a des tas d'autres réels qu'il ne contient pas, par exemple racine(2)/2, si on choisit racine(2) comme un des vecteur de la base).
Donc on a bien construit un anneau qui n'est pas un corps, et dont le corps des fractions est R

[invitee223f61b]

Bien sur, je n'avais pas compris ce qui était dit au dessus.
Mais ok pour la fermeture intégrale d'une -base de .
Et (ici), je ne suis pas dérange par l'intervention de l'axiome du choix (bien que ces -base de m'ont toujours intriguées, mais ce n'est pas la question).

Merci à vous tous

[AncMath]

On peut donc trouver une base de cet espace vectoriel (NB: elle est évidemment infinie et TRES compliquée, et en plus il faut accepter l'axiome du choix pour prouver son existence, mais bon....)

On prend maintenant toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs de base, mais avec des coefficients ENTIERS. Cet ensemble
est un anneau, qu'on appelle la fermeture intégrale de cet ensemble de vecteurs, mais ce n'est pas un corps, et comme preuve, il contient bien Z mais il ne contient pas les éléments de Q-Z (mais il y a des tas d'autres réels qu'il ne contient pas, par exemple racine(2)/2, si on choisit racine(2) comme un des vecteur de la base).
Donc on a bien construit un anneau qui n'est pas un corps, et dont le corps des fractions est R

Ça n'est pas ce qui est fait.

On ne regarde pas une -base de , mais une base de transcendance de sur . Si l'on regarde pour une base de sur , alors V n'a aucune raison d'etre un sous anneau.

On regarde qui est la sous Z-algèbre engendrée par une base de transcendance de sur puis on prend la clôture intégrale de qui est l'ensemble des éléments de entiers sur . Il est clair que est le corps des fractions de A et il est tout aussi clair que A ne peut égal à pour des raisons de dimension, ou aussi, parce qu'un rationnel non entier ne peut être entier sur A, car il serait entier sur une algèbre de polynomes sur , mais une telle algèbre est nécessairement intégralement close, car limite de ses sous algèbre polynomiale de type finie, et c'est un fait classique et facile que si est intégralement clos l'est également

[invitee223f61b]

Encore une fois merci pour la précision.
Bon, clairement, je n'ai pas fait assez de maths pour comprendre le détail, mais la réponse est la, ça existe bel et bien

[Resartus]

Bonjour,

AncMath, es-tu sûr de cela?

"V n'a aucune raison d'etre un sous anneau"

Certes, la base de transcendance est plus "petite" (et sans doute la plus petite possible capable d'avoir R comme corps de fractions)

Mais je ne vois pas ce qui empêcherait une Q-base de R d'engendrer un anneau d'entiers...

[AncMath]

Tu peux regarder le sous anneau de R engendré par une Q-base de R, mais ce truc là n'est pas l'ensemble des combinaisons entières des éléments de la base. Il faut aussi rajouter tous les produits des élements de la base. Là tu obtiens bien un sous anneau de R, mais ce sous anneau pourrait très bien être R tout entier.