Calcul d'une norme subornée

[invite03ef28af]

Bonjour,
voici mon problème:

Soit


on munit E0 et E2 de la norme de la convergence uniforme sur [0,1]

on pose
qui a f associé son unique primitive seconde qui s'annule en 0 et 1

j'ai montré que si F=L(f)
alors

on montre alors par des inegalites successives que L est 1-lipschitzienne
cependant je n'arrive pas a montrer que |||L||| = 1
je n'arrive pas a trouver de fonction ou ||L||=||f||
ni de suite (fn) telle que
auriez vous des idées ?
merci
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[invite23cdddab]

Si ton expression de F est correcte, alors



Or la fonction a pour maximum (en x=1/2)

Ceci entraine que

[invite03ef28af]

La norme suborndonnée serait donc 1/8
cependant je ne vois toujours pas de suite me permettant de conclure

[invite23cdddab]

Je prendrais une suite qui approche la fonction qui vaut -1 sur [0,1/2[ et 1 sur ]-1/2,1]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03ef28af]

cette fonction n'est pas continue si je ne m'abuse

[invite23cdddab]

C'est bien pour ça que j'ai parlé d'une suite (de fonctions continues) qui l'approche

[invite03ef28af]

je comprends
si je ne m'abuse la fonction
approche uniformement la fonction que vous avez definie
malheuresement je n'arrive pas a calculer L(f_n) ainsi definie

[invite03ef28af]

pardon c'est évidemment la fonction