Exercice Topologie , ensemble

[invite1f92914b]

Bonjour,

J'ai un exercice a faire en Topologie et je bloque sur 2/3 points :
Je dois montrer que si l'ensemble A est ouvert , et B est quelconque , alors A+B est forcement ouvert..
J'ai vu qu'il fallait montrer que B(a+b,r)=B(a,r)+{b} , mais je n'arrive pas a le démontrer , et j'ai meme du mal a comprendre comment elle peut être vraie..
Effectivement , cette égalité me permettrait de conclure rapidement ...
Ensuite , auriez vous un contre exemple pour montrer que si A fermé, et B fermé n'implique pas forcement que A+B fermé ?
Merci d'avance !!
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[invite6710ed20]

Bonjour
Tu poses une question sans donner le contexte. On ne peut pas deviner!!

Déjà tu parles de A+B (es-tu dans des e-v-n ou quoi?)

Précises donc l'ensemble de départ et sa topologie

[gg0]

Bonjour.

"J'ai vu qu'il fallait montrer que B(a+b,r)=B(a,r)+{b} , mais je n'arrive pas a le démontrer"
Pourtant, dans les situations où ça a un sens, il n'y a qu'à écrire la définition de ces deux ensembles pour voir qu'ils sont égaux.

Pour le contre exemple, sans contexte, c'est difficile.

[invite9dc7b526]

pour le contre-exemple je prendrais pour espace topologique la partie de R E = ]0,1[ u ]2,5[ munie de la topologie induite et A = ]0,1[ B = ]2,3]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6710ed20]

Rebonjour
Bien sûr on peut supposer que l'ensemble dans lequel on travaille c'est muni de la distance usuelle,
c'est à dire que d(x,y)=|x-y|. Les ouverts étant donc bien connus.
On fait donc dans un premier temps l'exercice dans ces conditions.

A ouvert et B qcq.

Alors sans réfléchir je commencerai comme cela:

Soit Par définition de A+B, il existe et tels que x=a+b.

Comme A est un ouvert...... à continuer.....

[gg0]

Oui,

mais on ne sait toujours pas quel est le bon énoncé ... merci quand même de détailler ce que je disais au message #3.

Cordialement.

[invite1f92914b]

Merci pour vos réponses !
Excusez-moi , A et B sont deux parties de R^n, et A+B ={a+b , (a,b) € (A x B) }

[invite6710ed20]

Rebonjour
Oui mais ce n'est pas encore suffisant dans un certain sens.
Parce que tu ne dis pas quelle est la topologie dont R^n est munie.
En particulier les ouverts sont-ils définis à partir d'une norme?

[invite1f92914b]

Ce n'est pas stipulé dans l'énoncé ..Je pense que lorsque ce n'est pas mentionné on travail avec la distance usuelle non ? ( c'est a dire une norme) ..

[invite6710ed20]

D'accord on part de ce principe.
Dans ce cas tu peux reprendre le début de ce que j'ai fait sur R, cela ne change pas grand chose. Normalement tu dois pouvoir finir c'est simple.

[invite1f92914b]

ok super merci je pense avoir compris :
pour reprendre :
si on considère x € A+B , il existe a et b tel que x = a+b

A est ouvert , donc pour tout a € A , pour tout r>0 , on a B(a,r)C A

on a que : x-b € B(a,r) , donc : d(x-b,a)<r
<=> /x-b-a/<r
<=> /x-(b+a)/<r
<=> d(x,b+r)<r
<=> x € B(b+a,r)

Or A C A+B
On a donc finalement que pour tout x € A+B , B(b+a,r) C A+B , donc A+B ouvert.
Cela vous semble juste ? merci encore

[invite6710ed20]

Rebonjour
Non ce n'est pas cela. Attention à chaque ligne que tu écris.
A est un ouvert ssi pour chaque élément a de A il existe r>0 tel B(a,r) est inclus dans A
et non pas "pour tout r>0" !!!!

[invite1f92914b]

Rebonjour merci,
Oui biensur , je me suis trompé de quantificateur...
Sinon est-ce que le début de mon raisonnement est correct ou alors il faut que je reparte depuis le début ?
Apres l'avoir relu ma démonstration ne me permet pas de conclure mais je n'arrive pas trop a trouver la bonne façon de continuer ...

[invite6710ed20]

La boule B(x,r)=B(a+b,r) est donc incluses dans A+B.
Donc pour tout x dans A+B on a montré qu'il existe r> 0 tel que B(x,r) est inclus dans A+B. Donc ...

[invite1f92914b]

Si B(a+b,r) est compris dans A+B alors A+B sera ouvert.
Mais c'est justement ce qu'on veut montrer , donc je ne vois pas comment vous obtenez que B(x,r)=B(a+b,r) C A+B ...
Ce que j'ai écrit un peu plus haut ne permet pas d'écrire ça ...
(Désolé encore c'est moi qui suis lent a comprendre ...)

[gg0]

Bonjour.

Revois la définition de "ouvert", en particulier les quantificateurs. Puis revois ce que tu as démontré, en particulier les quantificateurs. En tout cas " B(a+b,r) est compris dans A+B alors A+B sera ouvert." n'a aucun sens.

Cordialement.

[invite6710ed20]

Si v est un élément de B(a+b,r) alors v-b est un élément de B(a,r) donc de A.
Ainsi v=(v-b)+b appartient à A+B

On a montré que tout élément de B(a+b,r) est dans A+B

Oui comme le dit @gg0, il faut regarder de près tout ce que tu as écrit.

[invite5aa06497]

Bonsoir aux participants,

Si A est un ouvert de , A+B est la réunion des ouverts A+{b} (facile de prouver que les translations sont des homéomorphismes), quand b parcourt B. Or une des premières propriétés qu'on rencontre dans les études topologiques est qu'une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert. Cette idée a l'avantage d'aider à comprendre pourquoi cela ne marche pas avec les fermés.

On peut remarquer que cela marche à nouveau pour des fermés bornés (compacts), car l'image directe du compact AB par la fonction continue (a,b) a+b est un compact... C'est beau la topologie... (à condition de ne pas en abuser).

J'ai un"joli" contre-exemple A+B non fermé avec A et B fermés dans avec n >= 2, mais je n'en vois pas dans ... (munis de la topologie usuelle chaque fois bien sur).

Cordialement.

P.S. Si je ne donne pas le contre exemple c'est pour laisser chercher. Cette "marge" le tiendrait facilement, et je le détaillerai si le besoin est trop criant! En revanche dans [/TEX]\mathgg{R}[/TEX], je suis preneur...

[invite6710ed20]

Bonjour @Gian_Marco Ta remarque est très intéressante et c'est fondamental de savoir que la réunion quelconque d'ouverts est un ouvert!
Merci de l'avoir rappelé.

[invite23cdddab]

mais je n'en vois pas dans ... (munis de la topologie usuelle chaque fois bien sur).

Une idée, un peu compliquée :

On prend . On note une énumération des rationnels dans [0,1[, puis on défini B par . C'est un fermé (il y a un et un seul élément de B dans chaque intervalle de la forme [n, n+1[).

Et qui n'est pas fermé

[invite5aa06497]

Bonjour aux participants,

Bravo, on a un peu de mal à voir que mais ça me semble très juste !

En fait j'avais trouvé aussi une idée, hier soir (à la fraîche...), bien tordue à souhait également mais peut-on faire plus simple?





Reste à prouver, si je ne fais pas d'erreur, que A et B sont fermés (par les complémentaires réunions d'ouverts...), que 0 est point adhérent de A+B (limite d'une suite ) sans être dans A+B... Ce n'est pas plus simple que l'exemple de Tryse2.

Cela dit, j'insiste, il y a, bizarrement, BEAUCOUP plus simple dans , et les suivants.

Une remarque pour conclure : les contre exemples doivent prendre A et B non bornés car, pour augmenter ma petite remarque d'hier sur les compacts, on peut prouver que si A et B sont fermés et si l'un des deux est borné, A+B est fermé. C'est un petit complément à l'exercice précédent...

A bientôt peut-être, cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
En utilisant vos idées, encore plus simple : A : les entiers négatifs et B {n+1/n; n>0} : deux fermés dont la somme contient les 1/n mais pas zero.

[Resartus]

Oups, pour l'ensemble B, il faut n>1
(le diable est TOUJOURS dans ces petits détails...)

[invite5aa06497]

Ah oui, là ça commence à s'épurer vraiment.

Bon, puisque personne ne me le demande, je vous donne un contre-exemple (connu je crois) dans .

(graphe de l'hyperbole)

(l'axe des abscisses)

On vérifie facilement que A+B est l'ouvert .