Majoration d'integrale

[invite03ef28af]

Bonjour, voici mon problème:
Soit
on suppose que g et g'' sont integrable sur [0,+infini[
montré que :

j'ai deja montré que:
si

mais je ne vois pas comment montré le reste?
une idée?
Merci
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[invite6710ed20]

Bonjour
Est ce que tu peux donner la façon que tu as faite pour [0,1]? Uniquement pour voir si on peut l'adapter à [0,\infinty|?

[gg0]

Heu ... il y a un problème de notation : Comment une fonction définie sur [0;1] (g) peut-elle être intégrable sur [0,+oo[ ?

Mais il suffit de modifier pour que ça soit correctement écrit.

Cordialement.

[invite6710ed20]

Rebonjour
Oui effectivement @gg0, il faut corriger l'énoncé.
Je pense qu'il est assez facile d'étendre le résultat sur [0,1] à l'intégrale sur R^+.
J'expliquerai cela après la preuve sur l'intervalle [0,1]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03ef28af]

en effet j'ai fait une erreur g et g" sont integrables sur o + infini.
Pour [0,1]
j'ai montré : en notant m le minimum de |f'|

puis que pour tout alpha dans 0,1:


puis enfin que

[invite6710ed20]

Bonjour
Oui je suis d'accord avec la démonstration. Je n'ai pas cherché très longtemps mais je n'y étais pas arrivé.
En fait j'avais obtenu une inégalité un peu meilleure mais avec la condition f'(0)=0. Il fallait ensuite continuer mais je n'ai pas trouvé tout de suite la solution.

Pour passer de ce résultat à l'intégrale sur voilà ce que je propose.
Pour on pose pour La fonction vérifie les hypothèses sur l'intervalle [0,1]
et on a donc la majoration


Mais (idem pour les dérivée)
On a donc pour tout n: et en sommant membre à membre + relation de Chales on a



Encore avec les hypothèses le résultat s'en déduit en passant à la limite.

[invite03ef28af]

Ah oui belle demonstration, je me doutais que c'etait un changement de variable mais je n'avais pas trouvé.
Je me demandais par contre si 4 et 1 etaient les meilleurs constantes de majoration ou bien si avec une autre methode on pourrait en trouver d'autres ?
(Je n'est pas trouvé de contre exemple montrant l'égalité d'ou ma question)

[invite6710ed20]

Pour les constantes optimale,je ne sais pas. C'est pas très évident de trouver la meilleur constante avec cette norme 1.