Salut,
Je voudrais savoir comment calculer la longueur d'une corde enroulée autour d'un cône de révolution ? Avec un certain angle de départ, qui serait constant (comme une hélice).
Pour mieux s'imaginer le problème : je me suis posé cette question en enroulant ma guirlande autour de mon sapin
Je pense qu'il y'a un lien avec les spirales logarithmiques, mais pouvez-vous m'expliquer la démonstration ?
Merci beaucoup de votre aide
Dans un repère orthonormé de l'espace une équation possible pourrait être :
x(t)=(at+b)cos(t)
y(t)=(at+b)sin(t)
z(t)=t
avec a<0 et b>0
t dans l'intervalle [0, -b/a]
Sa longueur serait l'intégrale de 0 à -b/a du ds qui devrait pouvoir se calculer sans problème, sauf erreur,
avec ds²=dx²+dy²+dz².
Je ne vois pas trop, dans ce cas d'équation, la relation avec une spirale logarithmique;
La projection de cette spirale sur (0xy) serait la courbe d'équation polaire r=at+b.
Bonjour,Envoyé par Lucas_Ma
L'angle constant sur le cône se traduira par un angle constant de sa projection sur le plan. C'est une caractéristique de la spirale logarithmique.
La relation entre le rayon et l'angle doit être une exponentielle.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Spirale_logarithmique
Comprendre c'est être capable de faire.
J'ai du louper quelque chose, cependant qu'appellez-vous un angle constant sur le cône ?
L'analogie avec avec hélice, indique une angle constant avec les génératrices, ce que je prends comme point de départ.
Comprendre c'est être capable de faire.
Merci beaucoup pour vos réponses.
La modélisation d'eudea-panjclinne me plaît bien, je me suis peut être mal exprimé en parlant d'hélice.
En reprenant les équations :
x(t)=(at+b)cos(t)
y(t)=(at+b)sin(t)
z(t)=t
avec a<0 et b>0
t dans l'intervalle [0, -b/a]
Comment calculer les valeurs de a et de b , en connaissant la hauteur et le rayon de la base du cône de révolution ?
Ah, oK,
on aurait donc comme équation paramétrique possible :
x(t)=e^(at) cos(t)
y(t)=e^(at) sint(t)
z(t)=be^(at)
Pour sa longueur
ds²=e^(2at)(a²+1+a²b²)
que l'on peut intégrer facilement.
Cependant, il me semble que le fait que ce soit une hélice de base logarithmique n'est pas une nécessité ici pour cette modélisation.
b=Rayon, a=-Rayon/HauteurComment calculer les valeurs de a et de b , en connaissant la hauteur et le rayon de la base du cône de révolution ?
H = hauteur du cône.
R = rayon du cercle de base du cône.
h = largeur du ruban qui couvre la surface du cône.
e = épaisseur du ruban.
L = longueur du ruban.
Réponse "à la Physicienne" :
Aire du cône = pi*R*(H2+R2)1/2
Volume de ruban = e*pi*R*(H2+R2)1/2 = e*h*L
Résultat, longueur du ruban : L = pi*R*(H2+R2)1/2/h
(Supposant e petit par rapport à h ).
Je conçois que cela ne satisfasse pas le Mathématicien. Mais c'est d'une si admirable simplicité !
Remarque :
Si, au lieu d'un ruban, il s'agissait d'un fil de petit diamètre (e) dont les spires serraient espacées de (h), la longueur du fil serait la même que précédemment.
De même, si le ruban n'était pas à touche-touche, mais que ses spires étaient espacées de (d), remplacer (h) par (h+d) dans la formule précédente donnant (L).
