car j'ai trouvé une resultat quand j 'ai fait les calcule j ai trouvé un resultat qui est différent du correction
voici l'exercice :
Q(x,y,z)=xy-xz+yz
ce que j'ai fait:
Q(x,y,z)=xy-xz+yz
=(x+y)(y-z)-y²+2yz
=(1/4)(x+2y-z)²-(1/4)(x+z)²-(y-z)²+z²
la correction :
Q(x,y,z)=xy-xz+yz=...=(1/4)(x+y)²-(1/4)(x-y+2z)²+z²
Oui, une forme quadratique admet plusieurs décompositions en carrés.
Toutes les décompositions comportent le même nombre de termes (rang de la forme quadratique).
Dans le cas réel, on peut même préciser : toutes les décompositions comportent le même nombre de termes avec des coefficients positifs et le même nombre de termes avec des coefficients négatifs (loi d'inertie de Sylvester).
Le problème de ta décomposition n'est pas qu'elle soit différente de celle du corrigé, mais c'est qu'elle n'a pas le même nombre de termes...
Les quatre formes linéaires que tu fais intervenir par leurs carrés : x+2y-z, x+z, y-z et z ne sont pas indépendantes puisque :
x+2y-z = (x+z)+2(y-z).
comment connaitre si des termes sont dépendantes?
plusplus précisément
est ce que
x²dépendantes de x?
x²y²dépendantes de x²?
svp explique moi comment connaitre si des termes sont dépendantes ?
ici :
x+2y-z = (x+z)+2(y-z).
or, les trois termes apparaissent dans ta décomposition.
ce qui n'est pas le cas dans la solution proposée.
on ne peux écrire dans celle ci aucun des termes en fonction des deux autres.
C'est du cours !!!
Quant àPour prouver que des formes (ou des vecteurs, ou des matrices, ou ...) sont linéairement indépendantes, on écrit qu'une combinaison linéaire à coefficients inconnus est nulle, et on prouve que les coefficients sont nuls.
Pour prouver qu'elles sont linéairement dépendantes, on exprime l'une d'elles comme combinaison linéaire des autres.
cela ne veut rien dire, tu compares une forme quadratique et une forme linéaire dans le premier cas, une forme quartique et une forme quadratique dans le second cas : ces formes n'appartiennent pas au même espace vectoriel, donc la question de leur linéaire indépendances ne se posent pas.x²dépendantes de x?
x²y²dépendantes de x²?
Si tu les envisageais en tant que polynômes, là encore le COURS te dirait que deux polynômes de degré distincts sont linéairement indépendants.
Pour en revenir à l'exercice, la forme quadratique initiale est donnée sur un espace vectoriel de dimension 3, donc (cours...) sa décomposition en carrés ne peut pas avoir plus de 3 termes.
De plus, il existe un algorithme (méthode de Gauss) qui permet la décomposition en assurant que l'indépendance des formes obtenues ; il suffit de l'utiliser correctement.
Merci bcp God's Breath
