Bah la formule du module est:
Soit un complexe a+bi,
||z|| = V(a² + b²)
(V = racine carrée c'est dur en informatique mdr)
Donc nous avons là le complexe: 0 - 8i
Module = V(0² + (-8)²)= V64 = 8. Nous avons un module de 8.
Donc nous savons déjà que -8i s'écrit sous la forme 8 cis 3pi/2
où cis 3pi/2 = -i
Donc -8i = 8cis 3pi/2 sous forme trigonométrique, non ?
j'ai mal saisi ta manière de formuler ton exercice.
car il me semblait inutile de rappeler que le module de -8i vaut 8
mais ici on cherche les Z tel que Z^6=-8i
Et bien si nous transformons le -8i en forme trigonométrique, ce qui fait 8 cis 3pi/2
Nous faisons passer le ^6 de l'autre côté et nous obtenons le module racine sixième de 8.
Et donc nous savons que la 1ère solution est cis 3pi/2 de module racine sixième de 8, non?
Cela ne fonctionne pas, comme ça ?
Il semble que tu ne connaissances pas la manière générale de trouver les n solutions z ( dans le cercle trigonométrique ) de
z^n=Z pour tout n et Z
si, c'est OK pour le module.Envoyé par Febreen
à toi de formuler comment trouver tous les arguments ( ici au nb de 6 )
non, je n'avais pas bien vu, c'est juste pour le module mais pas pour l'argument.Et donc nous savons que la 1ère solution est cis 3pi/2 de module racine sixième de 8, non?
que devient l'arg de z quand on met z à la puissance n ?
Donc, il suffit de trouver tous les arguments de Z^6 = -i
Puis, les solutions seront sous la forme: racine 6ème de 8 cis Arg
Et il y aura plus qu'à les placer sur le graphique. C'est ça ?
Et ainsi Quand on élevera les formes trigonométrique en exposant 6, on obtiendra 8 cis Arg
Ce qui fera -8i
Ah le message s'est interféré pendant que j'écrivais.
Du coup, quand on a cis arg^n cela devient cis n*Arg
Du coup,
Si Z^6 = 8 cis 3pi/2
On a Z = 8^1/6 cis pi/4
Puisqu'on fait cis 3pi/2^1/6 = ce qui fait cis 1/6*3pi/2 =cis 3pi/12 = cis pi/4
Du coup la 1ère solution serait 8^1/6 cis pi/4 ?
oui "yapuka" trouver les arguments.
indication :
-i a pour argument 3pi/2 certes, mais c'est aussi vrai pour tous les 3pi/2+2kpi .....
trouve déjà un Z qui fasse que Z^6 ait pour argument 3pi/2
Oui, sauf qu'une forme trigonométrique, c'est les mesure principales compris entre [0;2pi[
oui, ça s'est pour le résultat final.
ta solution
correspond à Z^6 de module 3pi/2Puisqu'on fait cis 3pi/2^1/6 = ce qui fait cis 1/6*3pi/2 =cis 3pi/12 = cis pi/4
si tu prends 3pi/2+2pi ( donc +2kpi avec k=1)
tu obtiens un autre argument qui vaut
pi/4+2pi/6=pi/4+pi/3=7pi/12 qui est aussi valable ( ce que tu peux vérifier )
à toi de trouver tous les arguments et les replacer éventuellement entre 0 et 2pi.
Ah ! pour toiDonc nous avons là le complexe: 0 - 8i
Module = V(0² + (-8)²)= V64 = 8. Nous avons un module de 8.
Donc nous savons déjà que -8i s'écrit sous la forme 8 cis 3pi/2
où cis 3pi/2 = -i
Donc -8i = 8cis 3pi/2 sous forme trigonométrique, non ?
Comme je te l'avais indiqué pensant faciliter tes calcul -8i = 8 (-i)
donc
Tout cela est un peu lourd et peut se faire de tête en visualisant le point d'affixe -8i à "18 heures" sur un cercle de rayon 8.
Tu as donc à résoudre :
Si tu as la curiosité d'ouvrir ton cours tu trouveras que cela se traduit par :
Ce que je ne comprends pas c'est ton problème pour résoudre
Ce n'est pas ça la formule. Et ce n'est pas ce que j'ai dit.Ah ! pour toi
La formule du module pour un complexe a+bi, c'est V(a²+b²).
Donc, pour le complexe 0 - 8i:
C'est (a² + (-8)²) ce qui donne "0 + 64" ce qui fait racine de 64. Et la racine de 64, c'est 8. J'ai toujours dit depuis le début que le module était 8, je ne comprends pas pourquoi tu dis que j'ai dit que c'était 64.
Et oui, je sais que nous pouvons facilement voir que -8i est un cercle de rayon 8 à "18 heures". Je faisais ce calcul en guise de justification, car le jour de l'examen, je doute que j'aurais des pts si je justifie comme cela, la formule du module est toujours là pour justifier correctement.
Toutes mes excuses, j'avais lu en diagonale ton calcul !
Donc maintenant tu as terminé ton exercice ?
Oui, j'ai enfin compris.
Quand le prof nous donne directement une réponse comme dans le 1er exercice, on a juste apprendre les racines n-ièmes de l'unité et multiplier la réponse par toutes ces racines n-ièmes.
Et quand il y a juste une équation donnée sans 1ère réponse, pour trouver la 1ère réponse, il faut remplacer la forme algébrique par la forme trigonométrique, puis développer l'équation comme une équation "basique". Nous avons notre 1ère solution que nous pouvons ensuite multiplier par les racines n-ièmes de l'unité pour avoir les autres.
Un grand merci à vous pour votre aide !
tant mieux.
pour info, quelles sont donc les solutions que tu trouves ? ( et comment procède tu ? )
Et bien les 6 racines sixièmes de l'unité sont: pi/3, 2pi/3, pi, 4pi/3, 5pi/3 et 2pi.
On a la 1ère solution que nous avons trouvé juste avant qui est raciné 6ème de cis pi/4
Nous faisons donc pi/3*pi/4, 2pi/3* pi/4, pi*pi/4, 4pi/3*pi/4, 5pi/3*pi/4 et 2pi*pi/4
Nous avons donc les 6 solutions:
racine 6ème de 8 cis 7pi/12
racine 6ème de 8 cis 11pi/12
racine 6ème de 8 cis 5pi/4
racine 6ème de 8 cis 19pi/12
racine 6ème de 8 cis 23pi/12
racine 6ème de 8 cis pi/4 (la réponse de départ)
Et donc nous avons nos 6 solutions.
je ne comprend pas d'où sortent ces multiplications ( on ne multiplie pas les arguments ! ), ni le lien avec les résultats trouvés, qui sont justes.Nous faisons donc pi/3*pi/4, 2pi/3* pi/4, pi*pi/4, 4pi/3*pi/4, 5pi/3*pi/4 et 2pi*pi/4
un truc m'échappe dans ta manière de faire.
désolé, je crois comprendre que ce sont des additions en fait.
Oui, c'est ça.
Juste une petite remarque :
Les 6 racines de l'équation
Valeurs que tu as trouvées indirectement en multipliant successivement l'une d'elle par
Cette manière indirecte était justifiée dans le premier exercice par le but : calculer
Géométriquement, ces 6 racines sont les affixes des sommets d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon
