Nombre complexes - Correction d'un exercice

[inviteafc2d3a1]

Bonjour à tous.

J'ai remis un exercice à ma prof et il s'avère que je l'ai complètement raté (J'ai eu 1,5/8 à la question). Je voudrais donc le corriger mais à part barrer, la prof ne m'a pas mis grand chose. Donc, je voulais savoir si vous pouviez m'aider ici.

Voici la question:

(a) Vérifiez que cis 7pi/4 est solution de l'équation Z^6 = i
(b) Donnez sous forme trigonométrique toutes les solutions dans C de l'équation Z^6 = i
(c) Placez les solutions de Z^6 = i dans le plan ci-dessous. Expliquez votre construction.
(d) En utilisant éventuellement ce qui précède, donnez sous forme algébrique cis pi/12

Voici mes réponses:

(a) (cis 7pi/4) ^6= cis 42pi4 qui est égale à cis 2pi/4 qui est égale à cis pi/2 qui est égale à i. Donc, cis 7pi/4 est bien solution de Z^6 = i.
(b) Nous avons vu dans le (a) que cis 7pi/4 était solution de Z^6 = i.
Les autres solutions sont donc cis 2pi, cis pi/2, cis pi, cis 3pi/2, cis pi/4, cis 3pi/4 et cis 5pi/4. (Puisqu'il faut à chaque fois l'élever sur une puissance et nous obtenons une nouvelle solution jusqu'à ce que cela forme un cycle et que les mêmes mesures principales reviennent à chaque fois).
(Là, ils m'ont barré toutes les solutions sauf le cis 3pi/4 et m'ont mis 0.)

(c) Pour les placer dans le plan, nous savons déjà que les 4 premières solutions sont sur les axes. Pour cis pi/4 et cis 5pi/4, elles sont sur la droite x et pour cis 3pi/4 et cis 7pi4 sur la droite -x.
Ensuite, ρ = 1 puisque nous savons que la forme trigonomérique, c'est ρ cis θ avec ρ = ||z||.
Là, ils m'ont donné un demi point pour avoir su placé cis 3pi/4 et mauvais pour le reste vue que les solutions du (b) étaient mauvaises.

(d) cis pi/12, pi/12 c'est le tier de pi/4. Donc, nous savons déjà que cis pi/12 est dans le 1er quadrant et qu'il est trois fois plus petit que pi/4. Donc, l'imaginaire est déjà égale à 1/4. On sait ensuite que son module = 1.
Donc, √((1/4)^2+x^2) = 1.
1/16 + x^2 = 1
x^2 = 15/16
x = √(15)/4
La forme algébrique est donc √15 / 4 + 1/16i
Là ils m'ont tout barré.

Je voulais donc savoir comment je pouvais trouver les autres solutions de Z^6 = i pour l'exercice B et avoir un tips pour résoudre l'exercice d. Car je ne sais pas comment je pourrais faire autrement.

Merci de vos futures réponses et bonnes fêtes.
-----

[gg0]

Bonjour.

Je ne connais pas la signification de cis, mais pour la question 2, tu sembles imiter une résolution d'équation z^n=1 alors que ce n'est pas 1, mais i. Si z0 est une solution de z^6=i, alors z² n'en est pas une solution : (z0²)^6=z0^12=(z0^6)²=i²=-1, pas i.

En attendant de savoir ce que signifie cis 7pi/4, je te laisse déjà réaliser ton erreur. peut-être aussi revoir ton cours.

Cordialement.

[inviteafc2d3a1]

Salut gg0 et merci de ta réponse!

cis est juste une abréviation pour dire que cis θ = cos θ + i*sin θ
le c = cos, le i = le i de l'imaginaire, et le s = le sin.

Du coup, pour la correction de mon erreur, je ne vois pas trop comment obtenir les solutions de z^0 = i.
En cours, nous avions fait que des cas où j'ai procédé comme ci-dessus.
"(z0²)^6=z0^12=(z0^6)²=i²=-1"
Donc, pour que cela reste i, il faut que nous obtenons des solutions du type: "(z0^6)^1" si je comprends bien pour que i reste un i.
Mais du coup, si nous faisons des puissances de 1, nous obtiendrons toujours la même réponse....Je dois bloquer quelque part.

Encore merci de ta réponse,
Febreen.

[gg0]

Je pense que tu devrais revoir le cours et comprendre ce qui y est fait. En particulier que si z0 et z1 sont deux solutions de z^n=a, alors z1=k.z0 où k est une solution de z^n=1, une racine de l'unité.

Je te le redis, la priorité n'est pas de faire des exercices, mais d'apprendre à fond le cours (les exercices sont des mises en application du cours). Et tu gagneras du temps pour faire les exercices (genre 2 mn au lieu de 1 h sans résultat).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteafc2d3a1]

Je connais ma théorie. Mais j'ai du mal à l'appliquer, justement. C'est un peu flou pour moi. C'est pour cela que je pose mes questions ici.

Dans mon cours, il est noté que: "Un polynome de degré n a toujours n solutions dans C en comptant les multiplicités".
Cela veut dire, que par exemple, dans ce cas-ci, où Z^6 = i, il y a 6 solutions ?

Ensuite, si j'ai pris les cas dans l'exercice ci-dessus pour z^n=1, c'est justement car dans ma théorie, l'exemple pris est une solution = 1. Du coup, il est noté la méthode:
"On cherche le plus petit exposant k > 0 tq (cis θ)^k = 1 (Si ce k existe). Cela revient à chercher le plus petit exposant k tq k*θ est un multiple de 2pi (grâce à la formule de De Moivre cis θ^k = cis k*θ"

Du coup, je pensais que cela fonctionnait comme ça peu importe le z^n= ...
Donc, pour Z^6 = i, je dois trouver les 6 solutions où dans cis θ, θ^6 = i.
Le problème, je ne vois pas comment. On prend un multiple de 7pi/4 au hasard ( x par exemple) et après on regarde si x^6 = i ? Ou il y a une méthode concrète pour trouver toutes les solutions en 2-3 calculs ?

Encore merci à toi,
Febreen.

[inviteafc2d3a1]

(Je vois qu'on ne peut pas éditer le message précédent, donc je rajoute ceci)

Après quelques calculs, je viens de voir que si nous prenons par exemple:
cis 7pi/4
Il y aura un cycle de 8 réponses. (Par exemple, cis 7pi/4^9 = cis 7pi/4^1, cis 7pi/4^10=cis 7pi/4^2 et ainsi de suite). En conclusion, nous prenons le dénominateur (ici 4, on le multiplie par 2 et nous avons le nombre de solutions.

Donc, par exemple, si nous calculons les 4 solutions existantes, Nous aurons:
cis 7pi/4, cis 3pi/2, cis 5pi/4, cis pi, cis 3pi/4, cis pi/2, cis pi/4, cis 0

Ensuite, nous devons vérifier que toutes ces solutions soient solutions de Z^6 = i.
Nous obtenons que seul cis 7pi/4 et cis 3pi/4 sont solutions de Z^6 = i.

Et donc, l'exercice est terminé. C'est bien cela?

Merci à vous.

[CARAC8B10]

Pour la b) c'est l'application directe du cours :


avec

[gg0]

Non ! Tu es passé complétement à côté du problème. Mais comme tu sembles travailler en termes de "faire ceci, faire cela" et pas appliquer des règles de maths, c'est normal. Je n'ai pas réussi à voir pourquoi tu parlais de cycle de 8 alors que tu sais qu'il y a 6 racines, et que ton équation est Ni comment tu raisonnes en disant qu'il y a deux valeurs possibles pour les racines après avoir annoncé 6 racines.
Mais je te l'ai dit, tu n'apprends pas tes leçons, c'est normal que tu continues à raconter n'importe quoi.

Tu as une solution cis(7pi/4); Si z' est une solution :
On en déduit (je te laisse exécuter le calcul en appliquant des règles de calcul du collège) :

On pose
donc
Z est une racine sixième de l'unité, de la forme u^k où u est une racine sixième de l'unité d'argument strictement positif minimum et k varie de 0 à 5.
Donc
Quand k varie de 0 à 5 on obtient six valeurs différentes, donc les six solution de l'équation.

Regarde bien dans ton cours, ça a de fortes chances d'avoir été expliqué.

[inviteafc2d3a1]

Salut CARAC8B10,

Application du cours?? Nous avions résolu uniquement des Z^k = 1 en cours. (Jamais de = i) et nous n'avions pas procédé comme cela.

Comment fais-tu pour passer de "i" à (1,1/2+2kpi) ? Je ne comprends pas.. :q

Merci de votre réponse,
Febreen.

[CARAC8B10]

Comment fais-tu pour passer de "i" à (1,1/2+2kpi) ? Je ne comprends pas..

C'est la notation (module; argument) d'un nombre complexe

[gg0]

Effectivement,

tout dépend de ce qui a été fait dans le cours de Febreen.

[inviteafc2d3a1]

Pour gg0, non..Je n'ai pas ça dans mon cours, en effet. :q La seule méthode expliquée est celle que j'ai donné ci-dessus.

Et nous n'avons pas parlé de la notion de "racine de l'unité" non plus. Donc, je ne comprends pas très bien le "u" dans la formule.
J'ai regardé par curiosité sur wikipedia de quoi ça parlait. Et je vois que par exemple, les racines quatrième de l'unité sont -1, 1, i et -1.
Donc, si j'ai bien compris les racines 6èmes de l'unité sont: pi/3, 2pi/3, pi, 4pi/3, 5pi/3 et 2pi. C'est ça ?

Et donc, on peut prendre une de ces 6 valeurs au hasard pour l'inclure dans la formule ?

Merci de ton aide,
Febreen.

[albanxiii]

Bonjour,

cis est juste une abréviation pour dire que cis θ = cos θ + i*sin θ
le c = cos, le i = le i de l'imaginaire, et le s = le sin.

Vous n'avez jamais rencontré la notation ?

[stefjm]

Vous n'avez jamais rencontré la notation ?

C'est très possible.
Déjà de mon temps qui ne date pas d'hier, en terminale, elle était cachée sous des formes du genre .
Peut-être que maintenant, il faut attendre la maitrise pour voir l'exponentielle d'argument imaginaire...?

[gg0]

Il me semble que c'est une notation répandue en Belgique.

Cordialement.

[inviteafc2d3a1]

Pour la notation "e^iθ", notre prof nous l'a montré à titre informative mais il a toujours utilisé "cis" et du coup je l'utilise aussi par habitude.

Pour gg0, non..Je n'ai pas ça dans mon cours, en effet. :q La seule méthode expliquée est celle que j'ai donné ci-dessus.

Et nous n'avons pas parlé de la notion de "racine de l'unité" non plus. Donc, je ne comprends pas très bien le "u" dans la formule.
J'ai regardé par curiosité sur wikipedia de quoi ça parlait. Et je vois que par exemple, les racines quatrième de l'unité sont -1, 1, i et -1.
Donc, si j'ai bien compris les racines 6èmes de l'unité sont: pi/3, 2pi/3, pi, 4pi/3, 5pi/3 et 2pi. C'est ça ?

Et donc, on peut prendre une de ces 6 valeurs au hasard pour l'inclure dans la formule ?

Merci de ton aide,
Febreen.

Pour les racines 6èmes, c'est bien cela?

Merci à vous!

[gg0]

Heu ... écrit comme ça, non. les racines sixièmes de l'unité sont cis pi/3, cis 2pi/3, cis pi=-1, cis 4pi/3, cis 5pi/3 et cis 2pi =1.

Cordialement.

[inviteafc2d3a1]

Donc, si je comprends bien:

z' / cis 7pi/4 = Z, donc les 6 solutions que nous cherchons.

z' = cis 7pi/4 * u^k

Donc Z = cis 7pi/4 * u^k / cis7pi/4

Du coup, nous pouvons simplifier les cis 7pi/4 il me semble et Z est donc u^k
Donc, si nous prenons une racine sixième donnée ci-dessus et que nous faisons varier k de 0 à 5, nous obtiendrons les 6 solutions.

J'ai essayé:

cis pi/3^1 = cis pi/3 ==> cis pi/3^6 = cis 6pi/3 = cis 3pi = cis pi = -1. Et non i.
Donc, il doit y avoir quelque chose qui m'échappe...

[gg0]

Tu tournes en rond. je n'avais pas repris ce qui est dans ton cours d'après tes dires, mais j'écrivais : "Z est une racine sixième de l'unité" et les u^k pour k variant de 0 à 5 sont justement les racines sixièmes de l'unité.

Pour la suite, tu devrais te reposer un peu avant de calculer : cis 6pi/3 = cis 3pi !!!!!

[inviteafc2d3a1]

Ahhh oui, je viens de comprendre ! Tu remplaçais "Z" par "u^k" je pensais que c'était deux "formules" différentes. La 1ère pour obtenir la solution et la 2ème pour trouver z'.
Du coup, maintenant j'ai compris:
J'ai fait cis 7pi/4 * cis pi/3. J'ai obtenu cis pi/12. Si je fais cis pi/12^6 j'obtiens cis pi/2 qui est égale à i. Donc, c'est correct.

Et du coup, pour la question (d):
"En utilisant éventuellement ce qui précède, donnez sous forme algébrique cis pi/12"

Nous savons que cis pi/12 = cis 7pi/4 * cis pi/3.
Nous savons également que cis 7pi/4 = 3/4 - 3/4i et que cis pi/3 = 1/2+V2/2

Nous avons donc que cis pi/12 = (3/4 - 3/4i) * (1/2 + V2/2i)
= 3/8 + 3V2/8i - 3/8i + 3V2/8

(3+3V2)/8 + (3+3V2)/8i

Ai-je enfin compris?

Encore merci de ta patience,
Febreen.

[gg0]

J'ai bien l'impression que tu as nettement amélioré ta compréhension. Il faudra voir sur d'autres exercices, différents.
Juste un correctif : On préfère écrire i.(3+3V2)/8 que (3+3V2)/8i
Bonne suite !

[stefjm]

Il me semble que c'est une notation répandue en Belgique.

J"ai fureté un peu : https://en.wikipedia.org/wiki/Cis_(mathematics)
Perso, je ne m'en suis jamais servi, ni comme étudiant, ni comme enseignant.

[CARAC8B10]

Nous savons également que cis 7pi/4 = 3/4 - 3/4i et que cis pi/3 = 1/2+V2/2

Encore une erreur :

[inviteafc2d3a1]

Ah bon?

J'ai placé mon point sur le graphique en 3/4 - 3/4i lors de l'exercice (c) et le prof m'a mis un "v" à coté comme quoi c'était correct...

car 7pi/4 c'est comme ci c'était pi/4 mais en faisant le tour du cercle trigonométrique à l'envers.
pi/4, c'est 3/4+3/4i

Du coup, si on commence le cercle à l'envers, les réels ne changent pas mais l'imaginaire change de signe:
C'est donc 3/4 - 3/4i :q

Voici ce que j'avais fait sur le graphique:




Pour voir si j'ai compris, je vais faire un autre exercice du style et je vous tiens au jus!

Encore un grand merci à tous pour votre aide !

[invite51d17075]

car 7pi/4 c'est comme ci c'était pi/4 mais en faisant le tour du cercle trigonométrique à l'envers.
pi/4, c'est 3/4+3/4i

le complexe a pour norme 1.
ce n'est pas le cas de 3/4+3/4i,
autre manière de voir l'erreur
diff de3/4

[inviteafc2d3a1]

Ah oui ! Erreur de calcul de ma part. J'ai confondu avec le V3/2 qui est la valeur du sin de pi/3. Désolé!

Merci à vous,

En effet, entre 0,71 et 0,75 on voit pas trop la différence sur le graphique, ma faute...

[inviteafc2d3a1]

J'essaie de faire cet exercice, j'obtiens:

Pour obtenir une forme trigonométrique égale à -8i, il faut avoir les solutions qui font -i et ensuite les multiplier par 8 pour obtenir un module de 8, c'est ça ?

Ce que je ne comprends pas, dans le graphique que le professeur nous a donné, il nous a donné un cercle de rayon 3. Donc, on ne pourrait pas y inclure des points de module 8.

Ou bien, c'est l'inverse.
Car si nous faisons passer le 8 de l'autre coté de l'équation, cela devient Z^6/8. Du coup, on doit diviser nos solutions par 8?

[CARAC8B10]

Tu n'avais vraiment pas besoin d'insérer une photo d'un si court énoncé !

Pour résoudre , tu dois d'abord répondre à la question :
Quel est le module du nombre complexe
Quel est un argument du nombre complexe
indication :
Ensuite tu emploies exactement la même méthode que pour résoudre que tu es censé avoir comprise ...

[inviteafc2d3a1]

Ah mais oui, je viens de me rappeler d'un point de théorie que j'avais complètement zappé !
Une forme trigonométrique s'écrit sous la forme:

ρ cis θ avec ρ qui est le module et cis θ qui sont les formes trigonométriques de module 1.

Donc, nous avons le module de -8i qui est 8 ( V0²+(-8)²= V64 = 8 )
Et puis, nous devons prendre les 6 solutions de θ de Z^6 = -i.

Et donc, après il faut faire comme ci-dessus, c'est bien ça ?

[invite51d17075]

d'où sort le "64".?
si le module alors le module