diagonalisation

[invite445eea5c]

Bonjour, je voudrais savoir comment peut-on dire si une matrice est diagonalisable ou non, sans calcule
exemple une matrice triangulaire,
une matrice 4*4 = [5,7,14,-8;0,3,2,0;0,0,00,2;0,0,0,7]
et C= [0,0,0,0;1,0,0,0;0,2,0,0;0,0,5, 0]
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[invite18c42f07]

Salut,

Haha s'il y avait toujours une solution toute bête qui demande zéro réflexion et zéro calcul, pourquoi l'enseigner ?

Ta question me laisse penser que tu n'as pas encore vu de chapitre sur la réduction des endomorphismes (ou sinon que tu es en plein dedans). Il faut quand même noter que c'est un cours qui est loin d'être trivial, et que la diagonalisabilité fait l'objet de méthodes, de conditions nécessaires, suffisantes, de théorèmes, etc. qu'on ne se donnerait pas la peine d'enseigner s'il était possible de la découvrir sans calcul.

Donc pour répondre à ta question, je cite "comment peut-on dire si une matrice est diagonalisable ou non sans calcul", eh bien ce n'est tout bonnement pas possible dans le cas général. Donc première étape --> cours sur la réduction des endomorphismes, du moins en dimension finie (polynôme caractéristique & minimal, valeurs/vecteurs/espaces propres, th. de Caley Hamilton, etc.). Une bonne partie du vocabulaire reste valable en dimension infinie, mais c'est évidemment plus compliqué.

Quand le cours sera bien maitrisé, tu verras que tes exemples sont ultra basiques.

[invite445eea5c]

mais dans certain cas on peut dire qu'elles sont pas diagonalisable? dans les matrices que j'ai cité ?

[invite18c42f07]

Ben le truc si tu veux, c'est que si tu connais ton cours, que tu sais ce qu'est un polynôme caractéristique, un polynôme minimal, les espaces propres, leur lien avec une possible diagonalisabilité, etc. alors oui, il existe des cas où tu pourras tout de suite dire si une matrice est diagonalisable ou non car ce seront des cas triviaux en regard des notions que tu connais.

As-tu vu ces notions?

theguitarist

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite18c42f07]

EDIT du message précédent: et pour te répondre, oui, les matrices que tu as citées sont des exemples classiques que l'on doit savoir répondre directement (qu'elles soient diagonalisables ou non).

[invite445eea5c]

oui j'ai deja vu ces notions,
oui justement dans ces cas précis pourquoi peut on dire qu'elles sont diagonalisable ou nn

[invite18c42f07]

D'accord je n'étais pas sûr

Bon du coup, pour revenir à tes exemples, ce sont deux matrices triangulaires (supérieure ou inférieure, peu importe)



Pour une matrice triangulaire, la chose qui doit te faire tiquer systématiquement en premier, c'est que son polynôme caractéristique s'écrit: , autrement dit, les valeurs propres sont données par tes coefficients diagonaux!

Ainsi:

• Pour ta première matrice, tu as des coefficients deux à deux distincts --> polynôme caractéristique scindé à racines simples. Je te laisse conclure.
• Pour ta seconde matrice, tout tes coefficients diagonaux sont nuls --> une seule valeur propre: 0, de multiplicité 4, or ta matrice est clairement de rang 3. Je te laisse conclure également.

Appréhender les premiers exercices de ce chapitre n'est pas forcément évident, mais il y a certains automatismes comme celui-ci à connaitre

theguitarist

[invite445eea5c]

une matrice triangulaire est tjrs diagonalisable ?

[sylvainc2]

Non. La 2e matrice par exemple est 4x4 avec quatre fois la valeur propre 0. Donc si elle est diagonalisable, elle est semblable à la matrice diagonale 4x4 avec des 0 sur la diagonale, c'est-à-dire à la matrice nulle. Or une matrice de la forme kI, où k est un réel quelconque y compris 0, est semblable à elle-même seulement (très facile à prouver). Donc si ta deuxième matrice était diagonalisable elle serait déjà la matrice nulle alors elle n'est pas diagonalisable, c'est évident même sans aucun calcul.

Puis comme il a déjà été dit ta première matrice est 4x4 avec 4 valeurs propres distinctes donc elle forcément diagonalisable. On le sait sans calcul.

[invite445eea5c]

La diagonalisation d'une matrice avec que des 0 sur la diagonal, c'est la matrice nulle ? donc diagonalisable ?

[invite18c42f07]

yuuuu tu interpêtes mes propos selon ce qui t'arrangerait le plus. Plutôt que de répondre à chacun de mes posts avec d'autres questions, essaye de comprendre par toi-même ou du moins d'apprendre le cours: n'as-tu pas vu que pour être diagonalisable, la multiplicité de chacune des valeurs propres doit être exactement égale à la dimension de leur espace propre?

Partant de là, comment une valeur propre nulle de multiplicité 4, avec une matrice de rang 3 pourrait te permettre de dire que la matrice est diagonalisable?

Et puis quand bien même on ne t'aurait pas convaincu, en mathématiques pour infirmer une proposition, trouver un contre exemple suffit. sylvainc2 t'a proposé un exercice simple avec les matrices de la forme kI, je t'en propose un deuxième tout aussi simple: trouver un contre exemple de matrice triangulaire 2x2 non diago

[invite18c42f07]

La diagonalisation d'une matrice avec que des 0 sur la diagonal, c'est la matrice nulle ? donc diagonalisable ?"

Une fois pour toutes, arrête de chercher des vérités générales là où il n'y en a pas: on te donne un raisonnement, pas un théorème.

Le raisonnement est le suivant:

1. Tu as une matrice triangulaire, donc les valeurs propres peuvent se lire directement sur la diagonale (cf. message #7).
2. Dans ton cas, pour une matrice triangulaire avec une diagonale nulle, cela veut donc dire qu'il y a une seule valeur propre nulle de multiplicité 4. Jusque là, on n'a fait aucune généralité, juste des déductions, donc déjà arrête de partir dans des tentatives de généralisation avec des matrices qui auraient des diagonales nulles, ou je ne sais quoi.
3. Si une matrice est diagonalisable, les valeurs que tu retrouveras sur la diagonale de ta matrice diagonale seront tes valeurs propres. Donc encore une fois, dans ton exemple, tu viens de voir que la seule valeur propre était zéro, donc si ta matrice avait été diagonalisable, tu te serais retrouvé avec une matrice diagonale avec uniquement des 0 sur la diagonale, donc la matrice nulle. Est ce que c'est possible selon toi? Sylvainc2 te donne la réponse également.

comment peut-on dire si une matrice est diagonalisable ou non, sans calcul

Tu ne connais pas manifestement pas ton cours, je simplifie donc ma réponse pour ta question de départ: non. Continue avec la méthode que tu connais via le calcul des valeurs propres, etc. Et lorsque tu maîtriseras davantage ton cours, tu essayeras de comprendre pourquoi le cas des matrices triangulaires peut s'avérer parfois plus simple. D'ici là, tiens toi en au cours sans chercher de propriété qui pourrait t'arranger.

[invite445eea5c]

oui je connais la diagonalisation, mais on a pas vu que " pour une matrice triangulaire, les valeurs propres se lisent sur la diagonale, c'est pour ca que j'etais embeter.
J'ai vu le cours sur la diagonalisation, je sais comment procéder ,c'etait pour voir si on pouvait trouver directement la diagonalisation de certaines matrices dans certains cas.
J'ai eu ma reponse pour les matrices triangulaires, merci