Racine nième complexe

[invite1da5535e]

Bonsoir à tous,

J'ai un petit soucis concernant un chapitre de trigonométrie : les racines n-ièmes complexe.
Je n'ai pas compris comment on peut résoudre une équation de la forme z^n = un nombre.
Nous avons vu l'exemple de z^3 = 1 et je pense un peu avoir compris mais dès que le chiffre n'est pas 1 je ne sais pas résoudre.

Est-ce que quelqu'un pourrais m'expliquer les étapes svp ?
Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Il y a différentes méthodes. En gros, elles sont basées sur l'idée qu'un nombre complexe a un unique module, et une infinité d'arguments, égaux à un nombre entier de fois 2pi près.
Si on veut résoudre l'équation

où a est un complexe, de module R, et d'argument T (T est un des arguments de a); On appelle r et t le module et un argument de z; alors zⁿ a pour module rⁿ et comme argument nt (formules du cours); on en déduit les deux équations :


La première équation donne la valeur du réel positif r. Au besoin par une racine n-ième. La deuxième donne, par division par n, la valeur de t à 2 pi/n près, soit, puisqu'un argument est à 2 pi près, n valeurs possibles pour l'argument de t, qu'on obtient en prenant k=0, puis k=1, puis ... puis k=n-1 (pour k=n on retrouve la valeur pour k=0 augmentée de 2pi, donc un autre argument de la même solution).

Voila les idées principales, exprimées dans différentes notations (suivant les cours). Si tu as du mal à comprendre certains détails, explique bien ce qui te gêne (après avoir vraiment cherché à comprendre, lu et relu).

Cordialement.

[invite1da5535e]

Bonjour.

Il y a différentes méthodes. En gros, elles sont basées sur l'idée qu'un nombre complexe a un unique module, et une infinité d'arguments, égaux à un nombre entier de fois 2pi près.
Si on veut résoudre l'équation

où a est un complexe, de module R, et d'argument T (T est un des arguments de a);

Jusqu'ici je comprend. Mais ce qui suit est un peu flou.

On appelle r et t le module et un argument de z; alors zⁿ a pour module rⁿ et comme argument nt (formules du cours); on en déduit les deux équations :

Mais je comprend la fin.

La première équation donne la valeur du réel positif r. Au besoin par une racine n-ième. La deuxième donne, par division par n, la valeur de t à 2 pi/n près, soit, puisqu'un argument est à 2 pi près, n valeurs possibles pour l'argument de t, qu'on obtient en prenant k=0, puis k=1, puis ... puis k=n-1 (pour k=n on retrouve la valeur pour k=0 augmentée de 2pi, donc un autre argument de la même solution).

Je comprend le principe mais c'est vraiment la partie au niveau de l'équation qui est flou.
Après quelques recherches j'ai vu qu'il y a plusieurs méthodes : une arithmétique (qui fonctionne mieux avec n<4) où on résous une équation du n-ième degré. Mais ce n'est pas celle ci que l'on voit dans mon cours. C'est la géométrique où si j'ai bien compris on divise par la partie de gauche pour avoir 1 à gauche et une fraction à droite et ensuite il serait évident de trouver les solutions mais je ne comprend pas du tout comment on procède.

Est-ce qu'il serait possible de m'expliquer avec un exemple concret ?

Merci beaucoup de la réponse en tout cas.

[invite51d17075]

reprenons :

ou r est le module recherché ( unique et positif ou nul )
t sont les arguments recherchés dans l'intervalle [0,2pi[ par exemple.

je prend un cas concret.
avec R =16 , n=6 et T qcq.

comme , on en déduit facilement que

on en déduit une formule de r ( )

pour les arguments.
6t=T+(2kpi) soit
t=T/6 ( pour k=0 )
t=T/6+2pi/6=T/6+pi/3 ( pour k=1)
t=

T/6+4pi/6=T/6+2pi/3 ( pour k=2) jusqu'à
t=T/6+10pi/6=T/6+5pi/3 ( pour k=5)
il est inutile de pousser plus loin car en prenant k=6, on retrouve la solution obtenue avec k=0 à 2pi près.
a la fin il est parfois nécessaire de réécrire les angles dans l'intervalle de définition choisi.
est ce plus clair ?

ps: ce n'est pas tj un incrément de pi/3 , tout dépend de n .

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Diamondtw.

la partie que tu qualifie de floue est simplement des applications de ton cours : L'inconnue z, comme tout complexe, a un module (on le note r) inconnu, et des arguments inconnus (on note t l'un d'entre eux). On remplace dont une inconnue complexe par deux inconnues réelles, plus faciles à manipuler ensuite. Puis on dit que z^n et a, puisque ils sont égaux, sont le même complexe (*), donc ont le même module (r^n=R) et ont des arguments égaux à 2pi près : nt=T+k.2pi. Si tu ne comprenais pas r^n et nt, c'est simplement que tu n'aurais pas appris tes leçons (propriétés des modules et des arguments).

Cordialement.

(*) rappel de ce qui est une évidence parfois oubliée : u=v signifie que u et v, c'est la même chose, nommée différemment peut-être. 1+1=2 dit que le nombre noté 1+1 est le nombre noté 2.

[Merlin95]

Comme on ne sait pas si tu vois quelle partie du cours est importante, je me permets de faire "un rappel".

Tout nombre complexe peut être représenté par un module et un argument (angle) défini à près.

Ca se montre ainsi



or

et

peuvent être définis comme le sinus et le cosinus d'un angle appelé argument.

Et on pose que est le module du nombre complexe.

Au final, ca veut dire qu'un nombre complexe peut s'écrire sous la forme :

On démontre alors (je te laisse vérifier par toi-même) que lorsque tu multiplies 2 nombres complexes, le complexe obtenu aura comme module le produit des modules des nombres multipliés, et pour argument la somme des arguments des deux nombres complexes multipliés.