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DL fraction de fonction problème suite

  1. #1
    sleinininono

    DL fraction de fonction problème suite

    Bonsoir !

    j'ai déjà posé une question à ce sujet ici :
    http://forums.futura-sciences.com/ma...-fonction.html

    et j'ai de nouveau un problème à ce propos. Si je dois calculer un quotient de DL, comment faire? (ici on est en 0)

    j'ai f(x)/g(x),
    alors je calcule le DL à l'ordre voulu (disons n) en haut et en bas
    puis je refais le DL en bas grâce à la formule 1/(1+u)
    ( quitte à factoriser par 1/(C*x^k) pour avoir un 1 )
    puis je multiplie les deux DL obtenus entre eux.
    c'est ça la méthode? il y en a t-il une autre ?

    mais si par exemple je veux connaitre la limite de 1/x^2 * (sin(x)/sin(5x) - 1/5), je faisais le DL à l'ordre 3 en haut et à l'ordre 1 en bas pour faciliter les calculs mais apparemment ça fonctionne pas. Pourquoi ?
    Je me disais que en ayant un o(x^3) en haut et o(x) en bas j'obtiens alors un o(x^2) qui se simplifie ensuite par le produit par o(1/x^2) afin d'obtenir une constante.

    Mais alors avec la méthode du dessus, on ne peut pas savoir à l'avance à quel degré calculer le DL pour que ça tombe juste?


    merci pour votre temps

    cordialement

    -----

    Dernière modification par sleinininono ; 09/01/2018 à 20h44.

  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : DL fraction de fonction problème suite

    Bonjour.

    Il y a une méthode bien plus simple. Déjà, je suppose que g(0) est non nul (*). Ensuite, avec un DL et un DL , on obtient un Dl en 0 en divisant Pn par Qn par puissances croissantes.
    On trouve ça dans tous les bons cours sur les DL.

    Pour ton cas, comme tu divises par x², ton o(x3) devient un o(x) (**), donc tu n'obtiens pas ce que tu veux.
    Attention : le dénominateur est x², pas x²+o(x) comme tu sembles le dire (" o(x) en bas ). D'ailleurs, x² est généralement négligeable devant les o(x), ce serait idiot !

    Moralité : Toujours revenir aux définitions et théorèmes et règles de calcul, pas "se dire que ..."

    Cordialement.


    (*) pour un DL au voisinage de a avec g(a) non nul, on se ramènera ç un DL en 0 par le changement x=a+t.
    (**) tend vers 0 quand x tend vers 0.

  4. #3
    God's Breath

    Re : DL fraction de fonction problème suite

    Bonjour,

    Le truc c'est d'anticiper les diminutions de l'ordre de développement des DL.

    Je développe le sin(5x) à l'ordre n :

    Je factorise par 5x : et le second facteur n'est plus qu'à l'ordre n-1.

    Quand je passe à l'inverse , j'ai besoin de développer : qui ne pourra jamais être à l'ordre n.

    J'obtiens donc :

    et normalement la précision est en : et je ne suis plus qu'à l'ordre n-2.

    J'aurais donc globalement perdu deux ordres de développement dans la manipulation.

    Mais ici, on a de la chance, parce qu'on va avoir aussi une factorisation par x dans sin(x), et on va simplifier ces facteurs entre eux : je ne descendrai donc pas à l'ordre n-2, mais je resterai donc à l'ordre n-1.

    Ensuite, on soustrait 1/5 sans problème, puis on divise par x2 : il faut donc avoir un DL à l'ordre 2. Le bon truc c'est d'avoir : n-1=2, c'est-à-dire : n=3.

    Je fais le calcul :

    (factorisation par x et 5x et simplification par x : passage de l'ordre 3 à l'ordre 2)

    DL de l'inverse :



    Fin du calcul :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #4
    sleinininono

    Re : DL fraction de fonction problème suite

    merci pour ces explications toujours aussi claires.

    Juste une petite précision si possible : vous dites que développer

    1/(1+u + o(x^n-1) )

    va jusqu'à x^n-2. Pourquoi ? on pourrait en soit développer jusqu'à l'infini si on avait le temps?


    et pourquoi mon idée première ( idiote et candide ) de développer le sinus du bas à l'ordre 1 et le sinus du haut à l'ordre 3 ne fonctionne t-elle pas?
    Dernière modification par sleinininono ; 09/01/2018 à 21h54.

  6. #5
    God's Breath

    Re : DL fraction de fonction problème suite

    Citation Envoyé par sleinininono Voir le message
    vous dites que développer

    1/(1+u + o(x^n-1) )

    va jusqu'à x^n-2. Pourquoi ? on pourrait en soit développer jusqu'à l'infini si on avait le temps?

    Lorsque j'écris :



    je regroupe dans le tout ce qui est négligeable devant au voisinage de 0, en particulier les termes en .

    Lorsque je développe :



    je peux m'amuser à faire un développement en écrivant des termes en , mais il y a aussi des termes avec ces degrés qui ont été incorporés dans le , je ne connais pas ces autres termes et je ne peux donc pas les regrouper avec les termes calculés pour trouver le « bon » coefficient pour , ,

    Je suis donc obligé d'arrêter le développement de à l'ordre n.

    Citation Envoyé par sleinininono Voir le message
    pourquoi mon idée première ( idiote et candide ) de développer le sinus du bas à l'ordre 1 et le sinus du haut à l'ordre 3 ne fonctionne t-elle pas?
    Je fais le calcul :


    Et là je suis coincé avec le dénominateur .

    Tout ce que je sais, c'est : , c'est-à-dire (bien réfléchir à la définition de ) : .

    Pour 1/D, tout ce que je sais, c'est donc : , c'est-à-dire : .

    Je poursuis le développement en écrivant tous les termes quand je développe le produit pour bien voir ceux qui ne peuvent pas servir (en général on le fait de tête) :



    Dès que je vois le deuxième terme : , je sais que tout ce qui est négligeable devant 1, donc tous les et et le seul DL que je peux espérer est :



    Par rapport à mon premier calcul, après avoir simplifié le DL de sin(x) et sin(5x) par x, je laisse tomber le terme en 125x2/6 : je ne peux plus espérer avoir les bons termes en x2 si je ne tiens pas compte de tous les termes de cette forme.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. #6
    sleinininono

    Re : DL fraction de fonction problème suite

    ah d'accord je comprends. merci pour ces explications God's Breath !

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