DL fraction de fonction problème suite

[invite270c37bc]

Bonsoir !

j'ai déjà posé une question à ce sujet ici :
http://forums.futura-sciences.com/ma...-fonction.html

et j'ai de nouveau un problème à ce propos. Si je dois calculer un quotient de DL, comment faire? (ici on est en 0)

j'ai f(x)/g(x),
alors je calcule le DL à l'ordre voulu (disons n) en haut et en bas
puis je refais le DL en bas grâce à la formule 1/(1+u)
( quitte à factoriser par 1/(C*x^k) pour avoir un 1 )
puis je multiplie les deux DL obtenus entre eux.
c'est ça la méthode? il y en a t-il une autre ?

mais si par exemple je veux connaitre la limite de 1/x^2 * (sin(x)/sin(5x) - 1/5), je faisais le DL à l'ordre 3 en haut et à l'ordre 1 en bas pour faciliter les calculs mais apparemment ça fonctionne pas. Pourquoi ?
Je me disais que en ayant un o(x^3) en haut et o(x) en bas j'obtiens alors un o(x^2) qui se simplifie ensuite par le produit par o(1/x^2) afin d'obtenir une constante.

Mais alors avec la méthode du dessus, on ne peut pas savoir à l'avance à quel degré calculer le DL pour que ça tombe juste?


merci pour votre temps

cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Il y a une méthode bien plus simple. Déjà, je suppose que g(0) est non nul (*). Ensuite, avec un DL et un DL , on obtient un Dl en 0 en divisant P_n par Q_n par puissances croissantes.
On trouve ça dans tous les bons cours sur les DL.

Pour ton cas, comme tu divises par x², ton o(x³) devient un o(x) (**), donc tu n'obtiens pas ce que tu veux.
Attention : le dénominateur est x², pas x²+o(x) comme tu sembles le dire (" o(x) en bas ). D'ailleurs, x² est généralement négligeable devant les o(x), ce serait idiot !

Moralité : Toujours revenir aux définitions et théorèmes et règles de calcul, pas "se dire que ..."

Cordialement.


(*) pour un DL au voisinage de a avec g(a) non nul, on se ramènera ç un DL en 0 par le changement x=a+t.
(**) où tend vers 0 quand x tend vers 0.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Le truc c'est d'anticiper les diminutions de l'ordre de développement des DL.

Je développe le sin(5x) à l'ordre n :

Je factorise par 5x : et le second facteur n'est plus qu'à l'ordre n-1.

Quand je passe à l'inverse , j'ai besoin de développer : qui ne pourra jamais être à l'ordre n.

J'obtiens donc :

et normalement la précision est en : et je ne suis plus qu'à l'ordre n-2.

J'aurais donc globalement perdu deux ordres de développement dans la manipulation.

Mais ici, on a de la chance, parce qu'on va avoir aussi une factorisation par x dans sin(x), et on va simplifier ces facteurs entre eux : je ne descendrai donc pas à l'ordre n-2, mais je resterai donc à l'ordre n-1.

Ensuite, on soustrait 1/5 sans problème, puis on divise par x² : il faut donc avoir un DL à l'ordre 2. Le bon truc c'est d'avoir : n-1=2, c'est-à-dire : n=3.

Je fais le calcul :

(factorisation par x et 5x et simplification par x : passage de l'ordre 3 à l'ordre 2)

DL de l'inverse :



Fin du calcul :

[invite270c37bc]

merci pour ces explications toujours aussi claires.

Juste une petite précision si possible : vous dites que développer

1/(1+u + o(x^n-1) )

va jusqu'à x^n-2. Pourquoi ? on pourrait en soit développer jusqu'à l'infini si on avait le temps?


et pourquoi mon idée première ( idiote et candide ) de développer le sinus du bas à l'ordre 1 et le sinus du haut à l'ordre 3 ne fonctionne t-elle pas?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

vous dites que développer

1/(1+u + o(x^n-1) )

va jusqu'à x^n-2. Pourquoi ? on pourrait en soit développer jusqu'à l'infini si on avait le temps?

Lorsque j'écris :



je regroupe dans le tout ce qui est négligeable devant au voisinage de 0, en particulier les termes en .

Lorsque je développe :



je peux m'amuser à faire un développement en écrivant des termes en , mais il y a aussi des termes avec ces degrés qui ont été incorporés dans le , je ne connais pas ces autres termes et je ne peux donc pas les regrouper avec les termes calculés pour trouver le « bon » coefficient pour , , …

Je suis donc obligé d'arrêter le développement de à l'ordre n.

pourquoi mon idée première ( idiote et candide ) de développer le sinus du bas à l'ordre 1 et le sinus du haut à l'ordre 3 ne fonctionne t-elle pas?

Je fais le calcul :


Et là je suis coincé avec le dénominateur .

Tout ce que je sais, c'est : , c'est-à-dire (bien réfléchir à la définition de ) : .

Pour 1/D, tout ce que je sais, c'est donc : , c'est-à-dire : .

Je poursuis le développement en écrivant tous les termes quand je développe le produit pour bien voir ceux qui ne peuvent pas servir (en général on le fait de tête) :



Dès que je vois le deuxième terme : , je sais que tout ce qui est négligeable devant 1, donc tous les et et le seul DL que je peux espérer est :



Par rapport à mon premier calcul, après avoir simplifié le DL de sin(x) et sin(5x) par x, je laisse tomber le terme en 125x²/6 : je ne peux plus espérer avoir les bons termes en x² si je ne tiens pas compte de tous les termes de cette forme.

[invite270c37bc]

ah d'accord je comprends. merci pour ces explications God's Breath !