hypothèses changement de variable

[maatty]

Bonjour à tous,
je reprends actuellement mes cours sur les intégrales( Riemann ) et je me pose une question sur les hypothèses concernant le changement de variable.
Pour les intégrales simples: si est une application C^1 de[a,b] dans [c,d] et f une fonction continue sur [c,d] alors:

Je comprends bien la nécessité que soit C^1 dans cette propriété tout comme sa démonstration.
Ce qui m'échappe (et que j'aimerais comprendre plus profondément) c'est pourquoi pour des intégrales multiples (doubles notamment) doit être un C^1 difféomorphisme. Qu'est-ce qui change fondamentalement lorsqu'on intègre sur le plan par exemple et qui nécessite la bijectivité et la continuité de la bijection réciproque alors que la simple continue-dérivabilité suffit pour R?

Je vous remercie par avance.
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[maatty]

Bonsoir,

désolé de relancer; ma question n'inspire vraiment personne?

[invite57a1e779]

Le changement de variable dans une intégrale multiple est un problème de théorie de la mesure.

Le changement de variable dans l'intégration des fonctions continues des fonctions d'une variable réelle est un problème de la théorie de la dérivation.

On ne joue pas dans la même cour…

[maatty]

Bonsoir,
auriez-vous la gentillesse de m'expliquer de façon un peu plus explicite votre propos (bien que je vois ce que vous entendez par problème de dérivation; j'imagine que vous voulez dire qu'il s'agit ni plus ni moins que la formule de dérivation des fonctions composées)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Tout à fait ! Sous les hypothèses que tu envisages, admet une primitive sur , et tu te contente de lire l'égalité :



sous la forme:



qui n'est vraie que dans le cadre de l'intégration des fonctions continues.

Par contre, on peut, sous les mêmes hypothèses que pour les intégrales multiples, pratiquer un changement de variable avec une fonction intégrable, mais discontinue.

Le problème avec une fonction non bijective, c'est la gestion des repliements du domaine d'intégration.