limite d'une suite complexe

[Lucieeeee]

Bonjour !
Je dois montrer que pour toute suite complexe (Z_n)_n>=0,
implique

Or, je n'ai pas d'autres précisions, et je ne comprends pas de quelle forme est (Z_n) : est-ce (a+ib)ⁿ ?

merci à ceux qui pourront m'éclairer !
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[Tryss2]

Quelle est la définition de pour une suite complexe?

[Lucieeeee]

on a : si les suite (Re(Zn)) et (Im(Zn)) convergent vers Re(Z) et Im(Z).
De plus :
mais je ne vois toujours pas..

[Tryss2]

Tu peux utiliser le fait que et pour en déduire la convergence de Im(zn) et Re(zn) vers 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Bonjour,

Si ta réponse précédente est la définition de la convergence d'une suite complexe (et non une caractérisation de la convergence…), je te rappelle que :

1. |Re(z_n)|, |Im(z_n)| et |z_n| sont les côtés d'un triangle rectangle ;
2. dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand des trois côtés.

[Lucieeeee]

je pense que quelque chose cloche, mais je ne vois pas quoi :



quelqu'un pourrait il me dire si cela est juste ?

[invite36041331]

Salut,

Comme te l'as dit Tryss, la manière dont tu vas procéder dépend de la définition que tu as de la limite dans les complexes, en effet on a au moins 2 possibilités.
Celle qu'a donné Tryss (les 2 composantes, partie réels et imaginaire convergent), ou aussi lim |z_n-c|=0 ce qui veut dire que z_n tende vers c.

Cordialement.

[God's Breath]

Ce passage est faux : tu ne sais si les limites existent…

[Lucieeeee]

je crois que j'ai trouvé, avec le message de Tryss :
0<= |Re(zn)|<= |zn|
et 0<= |Im(zn)|<= |zn|

donc comme la limite de |zn| vaut 0 en , en utilisant le théorème des gendarmes:



donc:



donc:


donc :



est ce bien cela ?

[God's Breath]

Le raisonnement est correct, mais c'est bien la première fois que je vois cette définition de la convergence d'une suite à valeurs complexes :

si les suite (Re(Zn)) et (Im(Zn)) convergent vers Re(Z) et Im(Z).

[Lucieeeee]

je vais revoir mes définitions...
merci à tous pour m'avoir aidée sur cette question