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Calcul de limite

  1. #1
    darkvad

    Calcul de limite

    Bonsoir,
    J'ai un exo a faire. On me demande de calculer la limite [x(1-x)*sin(2x)]/(1-cos(2x)) quand x tend vers 0.
    Si vous pouvez me guidez un peu...


    Merci d'avance!

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Calcul de limite

    Bonjour,

    Méthode 1. Utiliser des DL pour le sinus et le cosinus.

    Méthode 2. Exprimer cos(2x) et sin(2x) en fonction de cos(x) et sin(x) (savoir ses formules de trigo, ça peut toujours servir).

    Méthode 3. Utiliser à bon escient la relation : cos2(2x)+sin2(2x)=1.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    darkvad

    Re : Calcul de limite

    Le dl de cos est 1-x^2/2 et de sinus est x+x^3/6
    Don on a : x(1-x)*((2x)-(2x)^3/3) /[ 1-(2x)^2/2]

    Il suffitt ensuite que je tend la limte en zero?

  5. #4
    darkvad

    Re : Calcul de limite

    Mais dans ce cas j'obtient toujours 0. Et il ya toujours la forme indeterminé.

    Je dois faire a l'ordre combien? 2 ou 3 ?

  6. #5
    God's Breath

    Re : Calcul de limite

    Citation Envoyé par darkvad Voir le message
    Don on a : x(1-x)*((2x)-(2x)^3/3) /[ 1-(2x)^2/2]
    Le dénominateur est : 1-cos(2x), donc le DL est : 1-[1-(2x)^2/2+o(x^2)] (on n'oublie pas les o(x^n) dans les DL, ce sont en fait les termes essentiels).
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. #6
    darkvad

    Re : Calcul de limite

    Ok mais quand x tend vers 0, on a 1-[1-(2x)^2+o(x^2)] où 2x^2 tend vers 0 et reste que le 1.et 1-1=0 on est bloqué

  8. #7
    God's Breath

    Re : Calcul de limite

    Présentons correctement les choses : On demande la limite de quand tend vers 0.

    Je commence par remarquer que tend vers 1 quand tend vers 0.

    Il me suffit donc de calculer la limite de quand tend vers 0.

    Méthode 1. Au voisinage de 0 j'ai les développement limités :



    dont je déduis :



    Méthode 2. Je connais et , c.-à-d. : . J'en déduis :



    Méthode 3. De la formule bien connue : , je déduis :



    et par conséquent :



    Les trois méthodes me conduisent au même résultat : la limite demandée est 1.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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