Calcul de limite

[invite4c7369f0]

Bonsoir,
J'ai un exo a faire. On me demande de calculer la limite [x(1-x)*sin(2x)]/(1-cos(2x)) quand x tend vers 0.
Si vous pouvez me guidez un peu...


Merci d'avance!
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Méthode 1. Utiliser des DL pour le sinus et le cosinus.

Méthode 2. Exprimer cos(2x) et sin(2x) en fonction de cos(x) et sin(x) (savoir ses formules de trigo, ça peut toujours servir).

Méthode 3. Utiliser à bon escient la relation : cos²(2x)+sin²(2x)=1.

[invite4c7369f0]

Le dl de cos est 1-x^2/2 et de sinus est x+x^3/6
Don on a : x(1-x)*((2x)-(2x)^3/3) /[ 1-(2x)^2/2]

Il suffitt ensuite que je tend la limte en zero?

[invite4c7369f0]

Mais dans ce cas j'obtient toujours 0. Et il ya toujours la forme indeterminé.

Je dois faire a l'ordre combien? 2 ou 3 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Don on a : x(1-x)*((2x)-(2x)^3/3) /[ 1-(2x)^2/2]

Le dénominateur est : 1-cos(2x), donc le DL est : 1-[1-(2x)^2/2+o(x^2)] (on n'oublie pas les o(x^n) dans les DL, ce sont en fait les termes essentiels).

[invite4c7369f0]

Ok mais quand x tend vers 0, on a 1-[1-(2x)^2+o(x^2)] où 2x^2 tend vers 0 et reste que le 1.et 1-1=0 on est bloqué

[invite57a1e779]

Présentons correctement les choses : On demande la limite de quand tend vers 0.

Je commence par remarquer que tend vers 1 quand tend vers 0.

Il me suffit donc de calculer la limite de quand tend vers 0.

Méthode 1. Au voisinage de 0 j'ai les développement limités :



dont je déduis :



Méthode 2. Je connais et , c.-à-d. : . J'en déduis :



Méthode 3. De la formule bien connue : , je déduis :



et par conséquent :



Les trois méthodes me conduisent au même résultat : la limite demandée est 1.