la monotonie

[invite17b81dc9]

Bonjour tout le monde , ca fait un bon moment que je cherche une reponse a ma question , mais je n'arrive pas Ãatrouver une demonstration complete ni un contre exemple , ma question est :
Soit f une fonction derivable sur un interval I , quelque soit x de I : f'(x)=/=0 . (=/= signifie differe de )
Est ce qu'on peut dire que f est strictement monotone ?
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[invite57a1e779]

Bonjour,

C'est une application directe du théorème des accroissements finis.

[invite17b81dc9]

J'ai déjà essayé d'utiliser le TAF mais en vain je trouve toujours des obstacles , je serait vraiment reconnaissant si vous pouvez déveloper ce que vous dites davantage

[azizovsky]

théorème de Fermat .https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._stationnaires

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

La fonction définie sur par :



est continue et; via le théorème des accroissements finis, ne s'annule pas sur .

Comme est convexe, donc connexe, est de signe constant, i. e. est monotone.

[invite23cdddab]

Est-ce que F est nécessairement continue? ça ne me parait pas immédiat et en tout cas, ça nécessite une justification (des dérivées non continues, ça existe)

[invite57a1e779]

Si on a un problème avec la continuité de , il suffit de restreindre à :

– la dérivée disparaît dans la définition de , dont la continuité est alors immédiate;
– est, comme convexe donc connexe;

et le raisonnement continue à fonctionner.