Equations differentielle de second ordre

[Momo54500]

Bonsoir,

je voulais savoir si vous saviez comment on peut trouver une solution particulière quand on a une équation différentielle de second ordre ?

Merci à vous.
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

1. Au flair.
2. Avec un peu de chance.
3. En cherchant de façon systématique une solution développable en série entière.
4. Autres méthodes.

[Momo54500]

par exemple pour l'équation de second ordre mais sans SM :

y'' -2y +1 =0

vous auriez une idée de la façon dont on pourrait résoudre cette équation ?
On fait passer le 1 de l'autre côté donc a y''-2y=-1 et ensuite on fait quoi?

[invite57a1e779]

Il s'agit d'une équation linéaire à coefficients constants. On déroule son cours…

L'équation caractéristique est de racines et .

Un système fondamental de solutions de l'équation homogène est donc constitué par et .

On passe ensuite à l'équation avec second membre en exhibant une solution particulière (cas des seconds membres particuliers) ou en utilisant la méthode de variation des constantes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Momo54500]

En solution particulière j'ai trouvé y0 = 1/2 c'est bien ?

[Momo54500]

Un autre exercice que l'on a corrigé en cours et dont je ne comprends pas la correction

on a :

4y"+4y+1=0
4y"+4y=-1
y"+y=-1/4

delta = -4<0 donc les solutions sont :

r1=-i et r2=i

et la partie que je comprends pas :
(lambda)e^it+(mu)e^-it
et là le prof écrit :
(lambda)e^0t(cos(1xt) + (mu)e^0tsin(1xt)

Les solutions à valeurs réelles sont :
(lambda)cos(t) + (mu)sin(t)

J'ai pas très bien compris cette partie.

Merci à vous.

[gg0]

Bonjour.

Les exercices appliquent le cours, donc première chose : Tu apprends tes leçons (ton cours). Puis tu appliqueras les méthodes du cours aux énoncés des exercices corrigés, et tu trouveras les solutions.

"En solution particulière j'ai trouvé y0 = 1/2 c'est bien ?" Si c'est juste, c'est bien et c'est vérifiable (*). Si c'est faux, on peut essayer de vérifier et on trouve que c'est faux. Tu n'as pas besoin qu'on te dise si c'est juste ou pas.

"et la partie que je comprends pas :" Pourtant c'est une application directe du cours. Si tu ne comprends pas, c'est que tu n'as pas appris ton cours. Fais-le (**) !

Cordialement.

(*) voir dans le cours ce qu'est une "solution d'une équation différentielle".
(**) on ne va pas refaire ce que ton prof a déjà fait et qui est dans n'importe quel bouquin sur le sujet. C'est ton travail !

NB : Si, en apprenant ton cours, il y a des choses que tu ne comprends pas, explique le passage, et on t'aidera.

[invite57a1e779]

et la partie que je comprends pas :
(lambda)e^it+(mu)e^-it
et là le prof écrit :
(lambda)e^0t(cos(1xt) + (mu)e^0tsin(1xt)

Un système fondamental de solutions de l'équation homogène est constitué par et : les solutions sont les fonctions de la forme .

Un autre système fondamental de solutions de l'équation homogène est constitué par et : les solutions sont les fonctions de la forme .

Mais bien évidemment la solution n'est pas la solution …

[gg0]

God's Breath,

cette rédaction est exactement ce qu'il y a dans son cours lorsque les racines sont u+iv et u-iv. Ici, i=0+i1. Mais j'aurais préféré qu'il le trouve lui-même une fois le cours appris, dans une tentative de l'appliquer. Quelle dure vie d'étudiant quand on ne trouve jamais rien seul !!

[invite57a1e779]

gg0,

Je pense que le problème vient de ce que le cours appelle les constantes et dans les deux cas, alors qu'elles n'ont pas la même valeur, et que cela crée une confusion.

[gg0]

Le cours, je ne sais pas. le corrigé copié par Momo54500 oui.
A se demander si le prof comprend ce qu'il écrit !

Cordialement.

[Momo54500]

Bonjour merci à vous pour votre aide

mais dans le cours le prof ne définit pas ce qu'est une solution particulière.
En gros une SP c'est que si on remplace y, y' et y" par la SP on doit trouver 0 c'est bien ça?

[invite57a1e779]

Oui, c'est ça.

Pour les équations linéaires à coefficients constants, lorsque le second membre est de la forme P(x)e^ax où P est une fonction polynomiale, on sait qu'il existe une solution particulière de la forme Q(x)e^ax où Q est une autre fonction polynomiale avec :

• deg(Q)=deg(P) si a n'est pas racine de l'équation caractéristique ;
• deg(Q)=deg(P)+1 si a est racine simple de l'équation caractéristique ;
• deg(Q)=deg(P)+2 si a est racine double de l'équation caractéristique.

Comme le second membre de la forme P(x)e^ax est très fréquent dans la pratique, il est utile de connaître cette forme de solution particulière.

[Momo54500]

Rebonsoir,

par exemple pour une équation comme :

y"-10y'+41y=sint

comment on pourrait trouver une solution particulière ?

Merci à vous.

[gg0]

Qu'est-ce qui donne des sin(t) par dérivation (éventuellement deux fois, il y a une dérivée seconde) ? Ben on le sais, des cos(t) et des sin(t). On va donc essayer d'en mettre, le plus simplement possible. Avec des coefficients pour que "ça s'arrange". Donc on prend y=a*sin(t)+b*cos(t) comme solution, on remplace et on essaie de trouver des valeurs de a et b pour que ça marche.

Mais attention : sauf si le second membre est bien particulier, on ne saura pas faire. par exemple pour y"-10y'+41y=exp(x²), on ne voit pas. D'où l'existence d'une méthode (variation des constantes) qui ramène le problème à de l'intégration; à trouver des primitives.

Cordialement.

[invite57a1e779]

y"-10y'+41y=sint

L'équation caractéristique de cette équation différentielle n'admet ni , ni pour racines, donc avec un second membre en , il y a une solution particulière en où est un polynôme de degré 0, c.-à-d. une constante.

Je vérifie:



J'en déduis :



Par combinaison linéaire :



et il reste à expliciter la solution particulière en fonction de .

Il suffit d'apprendre et d'utiliser les méthodes que l'on trouve dans n'importe quel cours sur les équations différentielles linéaires à coefficients constants.

[Momo54500]

okay je vous remercie

en cours on a vu que pour résoudre une ED de second ordre avec second membre qui est une exponentielle, on pouvait faire y0(t)=(at+b)* l'exponentionnelle au second membre .

C'est bon ?

[azizovsky]

pas toujours: , si on introduit une notation spéciale pour l'équation , la solution de l'ED a la même forme que le second membre de l'équation où est une constance numérique à déterminer .

l'introduction de cette formule dans l'ED et simplification par , on obtient pour déterminer

l'équation: , il y'a des conditions sur k (racine simple ou double et
et .....voir cours .

[gg0]

Momo54500,

considère l'équation
Il n'y a pas de solution particulière de la forme , car pour toutes les valeurs de a et b on retombe sur une solution de l'équation sans second membre. Il va falloir introduire un terme de plus, un .

Si tu as vraiment ce genre de choses dans ton cours, prends vite un bouquin lié à ta formation (au CDI si tu es en BTS, à la BU si tu es à l'université).

Cordialement.

[invite57a1e779]

J'ai rappelé dans mon message #13 la forme des solutions particulières pour les seconds membres particuliers…