Equations differentielle de second ordre

**Momo54500** · 05/01/2018, 18h12

Bonsoir,

je voulais savoir si vous saviez comment on peut trouver une solution particulière quand on a une équation différentielle de second ordre ?

Merci à vous.

**God's Breath** · 05/01/2018, 18h16

Bonsoir,

1. Au flair.
2. Avec un peu de chance.
3. En cherchant de façon systématique une solution développable en série entière.
4. Autres méthodes.

**Momo54500** · 05/01/2018, 19h04

par exemple pour l'équation de second ordre mais sans SM :

y'' -2y +1 =0

vous auriez une idée de la façon dont on pourrait résoudre cette équation ?
On fait passer le 1 de l'autre côté donc a y''-2y=-1 et ensuite on fait quoi?

**God's Breath** · 05/01/2018, 19h13

Il s'agit d'une équation linéaire à coefficients constants. On déroule son cours…

L'équation caractéristique est $\text{[math]}$ de racines $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Un système fondamental de solutions de l'équation homogène $\text{[math]}$ est donc constitué par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

On passe ensuite à l'équation avec second membre en exhibant une solution particulière (cas des seconds membres particuliers) ou en utilisant la méthode de variation des constantes.

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**Momo54500** · 05/01/2018, 20h04

En solution particulière j'ai trouvé y0 = 1/2 c'est bien ?

**Momo54500** · 05/01/2018, 20h23

Un autre exercice que l'on a corrigé en cours et dont je ne comprends pas la correction

on a :

4y"+4y+1=0
4y"+4y=-1
y"+y=-1/4

delta = -4<0 donc les solutions sont :

r1=-i et r2=i

et la partie que je comprends pas :
(lambda)e^it+(mu)e^-it
et là le prof écrit :
(lambda)e^0t(cos(1xt) + (mu)e^0tsin(1xt)

Les solutions à valeurs réelles sont :
(lambda)cos(t) + (mu)sin(t)

J'ai pas très bien compris cette partie.

Merci à vous.

**gg0** · 05/01/2018, 20h43

Bonjour.

Les exercices appliquent le cours, donc première chose : Tu apprends tes leçons (ton cours). Puis tu appliqueras les méthodes du cours aux énoncés des exercices corrigés, et tu trouveras les solutions.

"En solution particulière j'ai trouvé y0 = 1/2 c'est bien ?" Si c'est juste, c'est bien et c'est vérifiable (*). Si c'est faux, on peut essayer de vérifier et on trouve que c'est faux. Tu n'as pas besoin qu'on te dise si c'est juste ou pas.

"et la partie que je comprends pas :" Pourtant c'est une application directe du cours. Si tu ne comprends pas, c'est que tu n'as pas appris ton cours. Fais-le (**) !

Cordialement.

(*) voir dans le cours ce qu'est une "solution d'une équation différentielle".
(**) on ne va pas refaire ce que ton prof a déjà fait et qui est dans n'importe quel bouquin sur le sujet. C'est ton travail !

NB : Si, en apprenant ton cours, il y a des choses que tu ne comprends pas, explique le passage, et on t'aidera.

**God's Breath** · 05/01/2018, 21h16

Envoyé par Momo54500

et la partie que je comprends pas :
(lambda)e^it+(mu)e^-it
et là le prof écrit :
(lambda)e^0t(cos(1xt) + (mu)e^0tsin(1xt)

$\text{[math]}$

Un système fondamental de solutions de l'équation homogène est constitué par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : les solutions sont les fonctions de la forme $\text{[math]}$ .

Un autre système fondamental de solutions de l'équation homogène est constitué par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : les solutions sont les fonctions de la forme $\text{[math]}$ .

Mais bien évidemment la solution $\text{[math]}$ n'est pas la solution $\text{[math]}$ …

**gg0** · 05/01/2018, 21h42

God's Breath,

cette rédaction est exactement ce qu'il y a dans son cours lorsque les racines sont u+iv et u-iv. Ici, i=0+i1. Mais j'aurais préféré qu'il le trouve lui-même une fois le cours appris, dans une tentative de l'appliquer. Quelle dure vie d'étudiant quand on ne trouve jamais rien seul !!

**God's Breath** · 05/01/2018, 22h08

gg0,

Je pense que le problème vient de ce que le cours appelle les constantes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans les deux cas, alors qu'elles n'ont pas la même valeur, et que cela crée une confusion.

**gg0** · 06/01/2018, 08h43

Le cours, je ne sais pas. le corrigé copié par Momo54500 oui.
A se demander si le prof comprend ce qu'il écrit !

Cordialement.

**Momo54500** · 06/01/2018, 15h26

Bonjour merci à vous pour votre aide

mais dans le cours le prof ne définit pas ce qu'est une solution particulière.
En gros une SP c'est que si on remplace y, y' et y" par la SP on doit trouver 0 c'est bien ça?

**God's Breath** · 06/01/2018, 15h37

Oui, c'est ça.

Pour les équations linéaires à coefficients constants, lorsque le second membre est de la forme P(x)e^ax où P est une fonction polynomiale, on sait qu'il existe une solution particulière de la forme Q(x)e^ax où Q est une autre fonction polynomiale avec :

deg(Q)=deg(P) si a n'est pas racine de l'équation caractéristique ;
deg(Q)=deg(P)+1 si a est racine simple de l'équation caractéristique ;
deg(Q)=deg(P)+2 si a est racine double de l'équation caractéristique.

Comme le second membre de la forme P(x)e^ax est très fréquent dans la pratique, il est utile de connaître cette forme de solution particulière.

**Momo54500** · 16/01/2018, 22h03

Rebonsoir,

par exemple pour une équation comme :

y"-10y'+41y=sint

comment on pourrait trouver une solution particulière ?

Merci à vous.

**gg0** · 16/01/2018, 22h18

Qu'est-ce qui donne des sin(t) par dérivation (éventuellement deux fois, il y a une dérivée seconde) ? Ben on le sais, des cos(t) et des sin(t). On va donc essayer d'en mettre, le plus simplement possible. Avec des coefficients pour que "ça s'arrange". Donc on prend y=a*sin(t)+b*cos(t) comme solution, on remplace et on essaie de trouver des valeurs de a et b pour que ça marche.

Mais attention : sauf si le second membre est bien particulier, on ne saura pas faire. par exemple pour y"-10y'+41y=exp(x²), on ne voit pas. D'où l'existence d'une méthode (variation des constantes) qui ramène le problème à de l'intégration; à trouver des primitives.

Cordialement.

**God's Breath** · 16/01/2018, 22h37

Envoyé par Momo54500

y"-10y'+41y=sint

L'équation caractéristique de cette équation différentielle n'admet ni $\text{[math]}$ , ni $\text{[math]}$ pour racines, donc avec un second membre en $\text{[math]}$ , il y a une solution particulière en $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un polynôme de degré 0, c.-à-d. une constante.

Je vérifie:

$\text{[math]}$

J'en déduis :

$\text{[math]}$

Par combinaison linéaire :

$\text{[math]}$

et il reste à expliciter la solution particulière $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ .

Il suffit d'apprendre et d'utiliser les méthodes que l'on trouve dans n'importe quel cours sur les équations différentielles linéaires à coefficients constants.

**Momo54500** · 16/01/2018, 23h47

okay je vous remercie

en cours on a vu que pour résoudre une ED de second ordre avec second membre qui est une exponentielle, on pouvait faire y0(t)=(at+b)* l'exponentionnelle au second membre .

C'est bon ?

azizovsky · 17/01/2018, 08h01

pas toujours: $\text{[math]}$ , si on introduit une notation spéciale pour l'équation $\text{[math]}$ , la solution de l'ED a la même forme que le second membre de l'équation $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est une constance numérique à déterminer .

l'introduction de cette formule dans l'ED et simplification par $\text{[math]}$ , on obtient pour déterminer $\text{[math]}$

l'équation: $\text{[math]}$ , il y'a des conditions sur k (racine simple ou double et $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ .....voir cours .

**gg0** · 17/01/2018, 09h45

Momo54500,

considère l'équation $\text{[math]}$
Il n'y a pas de solution particulière de la forme $\text{[math]}$ , car pour toutes les valeurs de a et b on retombe sur une solution de l'équation sans second membre. Il va falloir introduire un terme de plus, un $\text{[math]}$ .

Si tu as vraiment ce genre de choses dans ton cours, prends vite un bouquin lié à ta formation (au CDI si tu es en BTS, à la BU si tu es à l'université).

Cordialement.

**God's Breath** · 17/01/2018, 09h58

J'ai rappelé dans mon message #13 la forme des solutions particulières pour les seconds membres particuliers…

Equations differentielle de second ordre

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Re : Equations differentielle de second ordre

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