métrique riemanienne (diagonalisation)

[invite54165721]

bonjour,

j'ai une métrque riemaniennr sur une variété M de dimension 4. en fait le cas qui m'intéresse est celui de
la relativité généréle mais je pose ici une question d'ordre général.
j'ai une carte f d'un ouvert de M dans laquelle a chaque point (t x y z) est associé une matrice symétrique
pour la métrique.
le me demande s'il est possible par un changement de variables de construire une nouvelle carte g dans
laquelle les matrices de la métriques seraient toutes diagonales.
peut on ajouter la propriété supplementaire que sur une droite donnée de R^4 elles soient de plus constantes?
(dans mon cas ce serait ici la matrice diag(-1 1 1 1))
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[0577]

Bonjour,

un argument heuristique permettant de deviner la réponse à ce genre de question consiste à faire un comptage de degrés de liberté fonctionnels.

En dimension d, une métrique en coordonnées locales est donnée par une matrice symétrique de taille d, donc par d(d+1)/2 fonctions. Un changement de coordonnées locales est donné par d fonctions. Cela suggère que, à changement de coordonnées locales près, une métrique est localement déterminée par d(d+1)/2-d=d(d-1)/2 fonctions. Or une métrique diagonale dépend de d fonctions. Cela suggère que, pour que toute métrique puisse localement se mettre sous forme diagonale, on ait

i.e.

On peut montrer que cette heuristique donne une réponse correcte:

1) En dimension 1, toute métrique peut localement se ramener à une constante (facile).

2) En dimension 2, toute métrique peut localement s'écrire comme une fonction fois une matrice diagonale constante ("métrique conformément plate").

3) En dimension 3, toute métrique peut localement s'écrire sous forme diagonale.

4) En dimension 4, il existe des métriques qui localement ne peuvent pas s'écrire sous forme diagonale.

[invite54165721]

je me contenterais du cas ou deux points étant reliés par une géodésique il y aurait un voisinage connexe
de cette partie de géodésique avec une métrique diagonalisée.
Apres tout que dit einstein mathématiquement avec son principe d'équivalence? ca parle d'élements non diagonaux
nuls et me semble t il de chtistoffels nuls le long de parties de géodésiques. et pas seulement de temps en temps.
je cherche une preuve mathématique de son affirmation.

[0577]

La version mathématique du principe d'équivalence est que, au voisinage de tout point p, il existe un système de coordonnées locales dans lequel la métrique au point p a la forme standard diag(-1,1,1,1) et les symboles de Christoffel sont nuls au point p. Cela ne dit rien sur la métrique au voisinage du point p. C'est un énoncé sur un "voisinage infinitésimal d'ordre 1" de p (parce que les symboles de Christoffel sont des combinaisons des dérivées d'ordre 1 de la métrique). Le tenseur de courbure est une obstruction à l'extension de cet énoncé au "voisinage infinitésimal d'ordre 2".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

si pour un point p0 il existe un tel systeme de coordonnées, dans ce systeme p va décrire une géosésique
ne peut on pas dire que le long de celle ci la métrique est également plate et les christoffels nuls? la propriété
ne serait pas vrai au voisinage de p mais dans une direction donnée a partir de p0?

[mach3]

Dans "Gravitation", page 327, paragraphe 13.6 (the proper reference frame of an accelerated observer), les auteurs construisent un système de coordonnées dans lequel la métrique est celle de Minkowski tout le long d'une ligne d'univers quelconque. Si ça peut aider.

m@ch3

[invite54165721]

sans que ce soit une démonstration mathématique je pense que le principe d'équivalence forte va dans ce sens.
ce qui assure l'impossibilité de distinguer la gravitation de l'accélération c'est la nullité des christoffels
et la métrique qui au point p doit etre celle de minkowski. un astronaute qui n'a acces qu'a des informations
locales ne peut démontrer par des expériences locales qu'il est en chute libre dans un champ de pesanteur.
et cela qu'il soit midi ou minuit. c'est tout au long de son vol en apesanteur. et pas seulement au voisinage
d'un point p de l'espace temps.

[invite54165721]

Dans "Gravitation", page 327, paragraphe 13.6 (the proper reference frame of an accelerated observer), les auteurs construisent un système de coordonnées dans lequel la métrique est celle de Minkowski tout le long d'une ligne d'univers quelconque. Si ça peut aider.

m@ch3

et pour les christoffels?
tu as le livre chez toi?

[mach3]

Les expressions des Cristofels sont données, on en reparle demain.

m@ch3

[mach3]

Ils considèrent une ligne d'univers quelconque, suivie par un observateur, et une tétrade orthonormale que l'observateur transporte avec lui le long de la ligne (en tout point de la ligne d'univers on a donc une telle tétrade). La tétrade doit en tout point de la ligne avoir les propriétés suivantes :
(le vecteur 0 de la tétrade est la 4-vitesse)
(les vecteurs de la tétrade sont choisis de longueur unité et orthogonaux entre eux)
Rien à démontrer ici, on a le "droit" de faire ça, en fait on choisi simplement une base orthonormale dans l'espace tangent (qui est de minkowski), en chaque point d'une ligne d'univers, et on fait ce choix de façon à ce que le premier vecteur de cette base soit la 4-vitesse de la ligne d'univers.

Je pourrais détailler plus tard, mais ils trouvent les coefficients de connexion suivants :

(avec a la 4-acceleration, dérivée covariant de la 4-vitesse suivant la 4-vitesse)
(avec omega la vitesse angulaire de rotation des vecteurs de base spatiaux par rapport à des vecteurs de base "Fermi-Walker-transportés", et epsilon le symbole de Levi-Civita)


m@ch3

[invite54165721]

si j'ai bien compris (ce qui n'est pas sur)
on a un pilote d'avion qui vole dans un champ de pesanteur.
son temps propre est celui de sa montre. il a un accélérometre et un gyroscope qui lui donnent
le a et le oméga des formules. et s'ils sont nuls (s'il coupe le moteur sans rotation)
les christoffels qui ne l'étaient pas deviennent nuls sur sa géodésique.

[azizovsky]

un groupe de Lie est isomorphe à une variété Riemannienne dont chaque élément est isomorphe à un élément du groupe. Et on peut définir des trajectoire sur cette variété et donc des vitesses le long des trajectoires. Or, les variétés Riemanniennes étant homéomorphes à R^n, cela implique que l'espace tangent en n'importe quel point de ces variétés soit un espace vectoriel. Et donc par isomorphisme, l'espace tangent en un élément du groupe de Lie est un espace vectoriel, et en particulier c'est le cas de son algèbre puisqu'il est définie comme l'espace tangent en l'identité du groupe.
Et il y'a des opérateurs qui permettent en particulier de ramener n'importe quel élément du groupe en l'identité....

ps: j'espère qu'il y'a quelqu'un qui maîtrise la géométrie et l'algèbre .....

[invite54165721]

je me demandais comment avec la donnée de ses tétrades on pouvait construire cette fameuse carte
appliquant un 4 tube au voisinage de la géodésique dans R^4.
misner indique la méthode,
pour le pilote qui est au centre de gravité de l'avion, on l envoie sur x = y = z = 0 et t est l'heure donnée par
sa montre. a tout point de sa géodésique du genre temps est associé tout au moins dans sa cabine
grace a la métrique une sous variété orthogonale a la géodésique au temps propre t.
a tout événement dans la cabine est donc associé un temps propre sur la géodésique par intersection
et une distance propre par rapport a lui.

[azizovsky]

il y'a la puissance du théorème d'Euler-Lagrange pour trouver les géodésiques d'une variété, puisqu'en effet il énonce un système différentiel vérifié par ces géodésiques. Mais la forte dépendance de ce système différentiel aux coordonnées choisies pour décrire la variété entraîne des non-linéarités de paramétrage qui augmentent la difficulté de résolution du système.
elle est remplacée par l'équation d'Euler-Poincaré ainsi que les théorèmes qui en découlent. Et c'est alors à l'aide de ces théorèmes que l'on peut obtenir les géodésiques d'une variété Riemannienne à partir de la conservation des constantes du mouvement le long de ces géodésiques et donc indépendamment de tout système de coordonnées.

[invite54165721]

veux tu dire qu'il y a une démonstration intrinseque de l'annulation possible des christoffel le long de la géodésique?
si oui je suis preneur.
encore merci a mach3 pour sa preuve.

[azizovsky]

la différence c'est que les premières (E-L) sont écrites sur tout l'espace tangent au groupe à l'aide du système de coordonnées alors que les secondes (E-P) sont écrits en fonction de variables intrinsèques à la géométrie de la variété : les quantités du mouvement.

NB : il y'a aussi question de symétrie de la variété....
comme j'ai dit, il faut quelqu'un pour la mise à jour .....

[mach3]

Les cristofell dépendent des coordonnées. Il suffit de faire le changement de coordonnées qui va bien pour les annuler tous en un point, ou certains d'entres-eux le long d'une ligne.
Par contre la propriété (dérivée covariante de la métrique suivant un vecteur u quelconque) est indépendante des coordonnées.

m@ch3

[azizovsky]

Le fait de dire qu'un groupe de Lie est isomorphe à une variété Riemannienne signifie que ce sont deux représentations (deux visions) de la même chose. Il y a également un isomorphisme avec une surface immergée dans R^3.
On a alors trois possibilités différentes de représenter la même chose.

Théorèmes d'Euler-Poincaré : http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf nommé ici seulement par théorèmes d'Euler .(avec application )

[invite54165721]

Les cristofell dépendent des coordonnées. Il suffit de faire le changement de coordonnées qui va bien pour les annuler tous en un point, ou certains d'entres-eux le long d'une ligne.

c'est pas faux mais l'important pour moi était que tous les christofffels pouvaient etre annulés sur
une géodésique entre deux points reliés. et ce n'est jamais dit comme cela quand on parle du principe d'équivalence.
d'ou mon doute initial.